Atps Matematica Financeira

Sumário:

Etapa 1 - Aulas-temas: Fundamentos de Matemática Financeira. A calculadora financeira HP-12C.

Matemática financeira - Conceitos básicos ------------------------------------------------------------- 03

Instruções básicas para HP-12C -------------------------------------------------------------------------- 04

Desafio

Caso A -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20

Caso B -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22

Etapa 2 - Aulas-temas: Sequência de pagamentos.

Séries de Pagamentos Uniformes ou Sequência Uniforme -------------------------------------------- 23

Desafio

Caso A -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 27

Caso B -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 28

Referências Bibliográficas --------------------------------------------------------------------------------- 31

ETAPA 1

Aula-tema: Fundamentos de Matemática Financeira. A calculadora financeira HP-12C.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Presente Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Instruções Básicas para HP-12C

Ligando e desligando

• Para ligar ou desligar sua calculadora, pressione a tecla [ON].

• Se deixar a calculadora ligada sem pressionar nenhuma tecla, ela se desligara automaticamente no intervalo de 8 a 17 minutos.

• Quando se liga a calculadora HP - 12C, o número que se encontrava anteriormente no visor mantém-se o mesmo.

Testando sua calculadora

Para verificar se sua calculadora se encontra em perfeito estado, proceda de acordo com a sequência:

1. Desligue sua calculadora. 2. Mantenha pressionada a tecla [X] e a tecla [ON], solte primeiro a tecla [ON] e depois a tecla [X].

No visor aparecerá piscando a mensagem “RUNNING” que significa “PROCESSANDO” em inglês e, depois, se a calculadora estiver funcionando corretamente, veremos no visor:

-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8

USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM

Testes de teclado e visor

1. Desligue a calculadora 2. Pressione a tecla [÷] 3. Religue a calculadora com a tecla [÷] pressionada e solte a tecla [÷] 4. Pressione todas as teclas, começando da [n] até [+] sempre da esquerda para a direita, sendo que a tecla [ Enter ] deverá ser pressionada 2 vezes (linhas 3 e 4)

Estando OK aparecerão 12 no meio do visor. Caso existam problemas, aparecerá ERROR.

Tipos de erro

Error 0 Operações Matemáticas Divisão por zero, etc.

Error 1 Registradores de Armazenamento Estouro da capacidade de armazenamento.

Error 2 Registradores Estatísticos Componente estatístico errado.

Error 3 Registradores Financeiros Várias taxas internas de retorno.

Error 4 Memória Programa extenso ou erro de programação.

Error 5 Registradores Financeiros Excesso ou falta total de CHS no Registrador Financeiro

Error 6 Registradores de Armazenamento Registradores estourados, programas extenso.

Error 7 Registradores Financeiros Excesso ou falta total de CHS nos Fluxos de Cx.

Error 8 Calendário Entradas de datas indevidas

Error 9 Testes de Circuito, Visor e Teclado. Problemas com a eletrônica, visor ou teclado.

Pr Error Memória Perda irreparável da memória contínua.

Limpando o visor

Para limpar o visor, pressione a tecla [Clx], indicativa em inglês de Clear X, o que significa Limpe X (registrador X do visor). Aparecerá então no visor o número zero.

O ponto e vírgula

Seja o número 1.346.630,42

Para facilitar sua visualização, dividimos a parte inteira em grupos de três algarismos por um ponto, e separamos a parte inteira da fracionária pela vírgula.

A notação americana, no entanto, utiliza a vírgula no lugar do ponto e vice-versa, o que, para o exemplo dado levaria à representação: 1,346,630.42

A HP - 12C originariamente se encontra na notação americana. Assim, à medida que se digita o número, ela vai automaticamente dividindo a parte inteira em grupos de três, bastando apenas apertar a tecla [ . ] quando for separar a parte inteira da fracionária.

Para passar da notação americana para brasileira e vice-versa, proceda de acordo com a sequência:

1. Desligue a calculadora. 2. Mantenha a tecla [ . ] pressionada e depois a tecla [ON], primeiro solte a tecla [ON] e depois a tecla [ . ]

Teclas de prefixo

Observando as teclas da HP - 12C, verifica-se que algumas delas podem realizar até três funções. A função primária é aquela que está impressa em branco na tecla. Acima dela, em amarelo, está assinalada a segunda função. Em azul, na parte chanfrada, a terceira.

Para executar a função em branco basta apertar a tecla normalmente. Já para as funções assinaladas em amarelo e azul é necessário pressionar antes as teclas de prefixo, ou seja, [ f ] e [ g ] respectivamente.

Fixando o número de casas decimais no visor

Quando efetuamos cálculos podemos desejar que o resultado, no visor, nos seja apresentado com determinado número de casas decimais, obedecendo à aproximação estatística. É o que se chama de formatação. Para estipularmos a quantidade de algarismos decimais, pressione a tecla [ f ] seguida do número indicativo da quantidade de casas desejadas.

Exemplo Calcular v¬7 com duas casas decimais.

SOLUÇÃO:

7 g v¬x

f 2

Visor: 2,65

Comentário: Se, em continuação, quiser conhecer v¬ 7 com seis casas decimais, encontrando-se ainda no visor o resultado anterior de 2,65 não há necessidade de refazer a operação. Basta pressionar em seguida [ f ] 6 e V: 2,645751.

Troca de sinal

Para trocar o sinal de um número, que se encontra no visor da calculadora, basta apertar a tecla [CHS]. Esta sigla é proveniente da expressão inglesa Change Singn que significa “troca de sinal”.

Inverso de um número

O inverso de um número é o número 1/x e vice-versa. Para obter o inverso de um número contido no visor basta pressionar a tecla [ 1/x ].

Exemplo:

a) Calcular o inverso de 20

b) Calcule 3v¬8

c) Calcule 5v¬3,8 , com 3 casas decimais

d) Determine o valor de 7v¬34 ,2 , com cinco casas decimais

e) Calcule o valor de 1,7 v¬ 23,41, com quatro casas decimais.

SOLUÇÃO:

a) 20 1/x

Visor: 0, 05

b) 8 ENTER

3 1/x yx

Visor: 2

c) 3,8 ENTER

5 1/x yx

f3

VISOR: 1,306

d) 2,34 ENTER

7 1/x yx

f 5

VISOR: 1,12913

e) 2 ENTER

3,41 yx

1,7 1/x yx f 4

VISOR: 4.0163

Tecla LSTX (último X)

Trata-se de um registrador automático que preserva o valor que aparece no visor antes da execução de uma função, podendo o mesmo ser recuperado para ser corrigido ou utilizado em outro cálculo.

Exemplo - Recuperação de um valor para utilização em outro cálculo

O faturamento mensal de uma empresa nos últimos 4 meses foi o seguinte:

Mês Faturamento

Janeiro R$ 50 348,00

Fevereiro R$ 57 900,20

Março R$ 69 480,24

Abril R$ 81.986,68

Arredondar um Número: RND

A utilização dessa tecla permite o arredondamento da parte fracionária de um número, visto que o número apresentado no visor após essa instrução passa a ser o número contido internamente. O critério de arredondamento utilizando pela calculadora é o convencionado internacionalmente, ou seja, de 0 a 4 arredonda-se para baixo e de 5 a 9 para cima. O exemplo a seguir facilita o entendimento.

Cálculo de logaritmo e antilogaritmo

* Logaritmo natural (neperiano)

O logaritmo natural (neperiano) de um número contido no visor é obtido pressionando-se as teclas [ g ] [ LN ].

Exemplo: Calcular: ln 34,8 (com cinco casas)

SOLUÇÃO:

34,8 g LN

VISOR: 3,54962

* Antilogaritmo de um logaritmo natural

ANTILOGARITMO é a função inversa do logaritmo, isto é, a obtenção do número a partir do conhecimento de seu logaritmo. O antilogaritmo de um logaritmo natural contido no visor é obtido pressionando-se as teclas g [ ex ].

Exemplo: Qual o número cujo logaritmo natural é 3,332204510

SOLUÇÃO:

3,332204510 g ex

VISOR: 28

* Logaritmo decimal (briggs)

O logaritmo decimal (Briggs) de um número contido no visor é obtido calculando-se seu logaritmo natural e complementando pela sequência:

10 [g] [LN] [÷]

Observação: A HP-12C não calcula o logaritmo decimal diretamente, daí o artifício.

*Antilogaritmo de um logaritmo decimal

O antilogaritmo de um logaritmo decimal contido no visor é obtido pressionando-se a sequência:

[ENTER] 10 [X↔ Y] [YX]

Exemplo:

Quais os números cujos logaritmos decimais são respectivamente:

a) 2,660865478

b) - 0,910094889

SOLUÇÃO:

a) 2,660865478 ENTER

CHS 10 X ↔ Y yx

VISOR: 458

b) 0,910094889 ENTER CHS

10 X ↔ Y yx

VISOR: 0,123

Programação

A elaboração de programas na HP-12C é exatamente simples, pois consiste unicamente em gravar uma sequência de teclas, que será executada sempre que for solicitada.

A identificação das teclas na codificação do programa é baseada num tratamento matricial para o teclado da Calculadora HP-12C. As teclas estão dispostas segundo uma matriz de quatro linhas e dez colunas. A primeira linha tem o código 1 e corresponde às teclas n , i , PV , PMT , FV , CHS , 7 , 8 , 9 , e ÷ . A primeira coluna tem o código 1 e corresponde às teclas n , yx , R/S e ON. A décima coluna tem o código zero. Dessa forma, cada tecla pode ser identificada pela intersecção da linha e da coluna a que pertence. A tecla FV, por exemplo, é representada pelo número 15, pois está localizada na intersecção da linha 1 com a coluna 5.

A capacidade da HP-12C é de 99 linhas de programação, e cada tecla corresponde a uma linha do programa. Assim, a calculadora pode gravar uma sequência de operações envolvendo até 99 teclas. Nessa contagem não estão incluídas as teclas f, g, RCL e STO.

A Calculadora permite a gravação de mais de um programa na memória, desde que seja observado o limite de 99 linhas de programação.

Funções e teclas especiais

P/R faz a abertura e o encerramento dos programas da HP-12C.

PRGM apaga todos os programas que estão gravados na calculadora, desde que a mesma esteja em fase de programação.

BST utilizada na fase de programação faz o programa voltar para a linha anterior, sendo útil na revisão das instruções do programa.

PSE utilizada na fase de programação. Quando o programa for executado, haverá uma pausa na linha em que encontrar essa instrução. É importante para anotação de resultados intermediários do programa.

R/S faz a chamada do programa para ser executado, e é também utilizada na fase de programação. Quando o programa for executado haverá uma interrupção na linha em que encontrar essa instrução. O programa só continuará sua execução após novo acionamento dessa tecla. É importante para anotação de resultados intermediários do programa.

SST utilizada na fase de programação, faz o programa seguir para a linha seguinte, sendo útil na revisão das instruções do programa.

Programa para o cálculo do logaritmo decimal

PROGRAMA

f P/R

10 X↔ Y yx

f P/R

EXECUTANDO: Calcule o antilogaritmo decimal de 0,698970004.

10 X↔ Y yx 0,698970004

VISOR: 5

Colocando os dois programas em sequência e executando separadamente

Para colocar dois ou mais programas em sequência, devem após digitar o primeiro programa acionar a tecla SST e marcar a linha em que parou. O próximo programa continua na linha seguinte

Resumo

A utilização de programas é recomendável na solução de problemas repetitivos, na medida em que o programa não se apaga com o desligamento da calculadora.

Os seguintes passos devem ser seguidos na elaboração de programas na HP-12C:

a) Obter as expressões algébricas pertinentes ao problema em estudo; b) Resolver as expressões algébricas de maneira convencional ( sem programa ), e anotar a sequência de teclas utilizadas na solução do problema; c) Definir os parâmetro que são os "dados" do problema, bem como a forma como eles serão fornecidos para o programa; d) Desenvolver o programa e testa-lo usando exemplos resolvidos de forma convencional (sem programa).

Memórias transitórias (X, Y, Z, T)

A calculadora HP-12C dispõe de quatro memórias temporárias (X, Y,Z,T), que operam como se fossem uma pilha de quatro valores, com as seguintes características:

a) A memória X é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor.

b) As demais memórias, Y, Z e T, estão "empilhadas" em cima da memória X, nessa ordem sequencial.

c) Todas as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos das memórias X e Y.

d) Os conteúdos dessas memórias são movimentados nos seguintes casos:

•quando a tecla ENTER é acionada,

•quando são efetuadas as operações aritméticas ( + , - , x , ÷ ),

•quando são acionadas as teclas R, ou X↔ Y

A tecla enter

Quando um número é digitado, ele passa a ocupar a memória, que é a única cujo conteúdo aparece no visor.

Ao se acionar a tecla ENTER é desencadeada as seguintes transferências de valores entre as memórias transitórias:

a) o conteúdo da memória X é transferido para Y, mas permanece na memória X;

b) o conteúdo de Y é transferido para Z;

c) o conteúdo de Z é transferido para T;

d) o conteúdo da memória T é perdido.

A tecla X↔ Y

Essa tecla permuta os valores das memórias X e Y, permanecendo as memórias Z e T sem qualquer alteração.

A tecla R↓

Essa tecla promove uma troca nos conteúdos das quatro memórias, assim, o acionamento dessa tecla quatro vezes consecutivas permite conhecer os conteúdos das quatro memórias temporárias ( X , Y , Z e T )

Registradores de armazenamento

Além dos registradores X, Y, Z e T que compõem a pilha operacional da calculadora, a HP - 12C dispõe ainda de 20 outros registradores de armazenamento ( memórias) para guarda de números. Esta grande quantidade de registradores justifica-se pelo fato de eles serem utilizados na expansão da memória de programação.

Assim, no caso de a calculadora conter algum programa, o número de registradores disponível poderá ficar reduzido. Entretanto, sempre restará pelo menos sete registradores ( R0 a R6 ) à disposição do operador para armazenagem manual de números.

Esses registradores são designados por:

R0 a R9 com 10 registradores

R.0 a R.9 com 10 registradores

Para armazenar um número contido no visor, pressione, por exemplo [STO] 1 e estaremos armazenando este número no registrador 1 (R1). Se, ao invés, pressionássemos [STO].51 teríamos armazenado o número no registrador .5 (R.5).

O nome da tecla [ STO ] deriva de STORE ( armazenar )

Apagando números nos registradores

Até o presente vimos que a calculadora possui quatro registradores X, Y , Z e T que compõem a pilha operacional e 20 registradores de armazenamento, dos quais R1 a R6 são chamados estatísticos por serem utilizados em cálculos daquela natureza. Contudo, além desses, a HP-12C possui um registrador especial LSTx e 5 registradores financeiros ( n, i, PV, PMT e FV ). Para que se possa guardar um número em um registrador não há necessidade de ele se encontrar zerado. O novo número armazenado substitui automaticamente o anterior. Um único registrador será apagado quando introduzimos o zero nele. Assim, por exemplo, para apagar o registrador R7 que contém o número 250, tecle:

[RCL] provém de RECALL (recuperar)

0 STO 7

As teclas “CLEAR”

Essas teclas apagam simultaneamente uma série de registradores conforme demonstra o seguinte quadro:

Fazendo contas nos registradores

Os registradores de dados R0 a R4 permitem que neles sejam realizadas as quatro operações. O número contido no registrador poderá ser adicionado, subtraído, multiplicado ou dividido pelo número do visor, permanecendo o resultado da operação no registrador; ou seja, sem a participação dos registradores da pilha operacional.

Estando o número no visor, para efetuar a operação esquematizada proceda de acordo com a sequência:

1. Pressione [STO] 2. Pressione a tecla da operação desejada [ + ], [ - ], [ x ], [÷ ] 3. Pressione o endereço do registrador ( 0,1,2,3 ou 4)

A tentativa de operar em um registrador diferente de R0 a R4 implicará a mensagem “ERROR 4”.

Potência de 10 e notação científica

Na HP-12C, o visor tem capacidade de dez dígitos. Isto impossibilita a introdução de números grandes ou muito pequenos pressionando-se a tecla de todos seus algarismos. Para a HP-12C:

∫Números grandes - são aqueles superiores a 9.999.999.999

∫Números muito pequenos - são inferiores a 0,000000001

A introdução de número com mais de 10 dígitos só poderá ser feita se convertermos previamente o número para a chamada “notação científica”.

Convertendo um número à notação científica

2 345,25............... = 2,34525 . 103

0,00056................ = 5,6 . 10-4

Usando a HP-12c

Qualquer número com até dez dígito poderá ser convertido à notação científica pela própria HP-12C desde que se pressionem as teclas [ f ] [ . ]. Para retornar à representação normal pressione: [ f ] 9

Exemplo: Converter à notação científica o número: 4.069.948.757

SOLUÇÃO:

4 069 948 757 f .

VISOR: 4,069326 . 109

Introduzindo um número escrito em notação cientifica ou semelhante

Preliminarmente convém esclarecer que é muito comum encontrarmos valores numéricos referentes a certos dados, apresentados no formato do produto de uma mantissa por potência de 10, sem, no entanto, obedecerem à notação científica. É o caso, por exemplo, dos seguintes números:

a) 25,4 x 1015

b) 0,0624 x 10-8

Os dois exemplos não estão escritos em notação científica porque em

a) a parte inteira da mantissa contém mais de um dígito e em

b) o dígito da mantissa é zero.

Para introduzir um número em notação científica ou semelhante na HP-12C, proceda de acordo com o roteiro:

1. Pressione [f] [REG]

2. Digite a mantissa

3. Pressione a tecla [EEX]

4. Digite o expoente e pressione [CHS] se for negativo

5. Pressione a tecla [ENTER]

EEX é a sigla correspondente a Enter Exponente (Introduz o expoente).

Operações de calendário

Limites de operação

As funções de calendário são realizadas através de duas teclas específicas [g] [DATE] e [g] [∆DYS], abrangendo datas compreendidas entre 15 de outubro de 1582 e 24 de novembro de 4046, limites inclusive.

Introduzindo datas

As datas são introduzidas pelo teclado por intermédio de duas notações distintas:

• americana e

• brasileira

Sendo D a abreviatura de Day (dia), M a de Month (mês) e Y a de Year (ano) e a quantidade de letras indicativa do número de dígitos necessários em cada caso, teremos:

NOTAÇÃO FORMATO

AMERICANA MM.DDYYYY

BRASILEIRA DD.MMYYYY

O ponto e a vírgula que separam os dois primeiros dígitos das demais correspondem, na calculadora, à tecla do ponto decimal [.]

Assim, 20 de março de 2 000 teria a seguinte representação:

notação americana 03,202000

notação brasileira 20,032000

A HP-12C vem de fábrica preparada para operar na notação americana. Para passar para a notação brasileira ou retornar desta para a notação americana, proceda de acordo com o quadro:

NOTAÇÃO PRESSIONE VISOR

AMERICANA [g] [MDY] sem anunciador

BRASILEIRA [g] [DMY] com anunciador “DMY”

DICA : Mantenha o indicador DMY permanentemente no visor

Calculando datas futuras ou passadas

Para calcular a data futura ou passada, decorrido certo número de dias a partir de determinada data, proceda de acordo com o roteiro:

1. Pressione as teclas [f] [REG]

2. Digite a data

3. Pressione a tecla [ENTER]

4. Digite o número de dias, pressionando a tecla [CHS] se a data procurada for anterior data digitada

5. Pressione a tecla [g] [DATE]

ATENÇÃO

No cálculo de datas futuras ou passadas, a primeira data é computada e a da resposta é excluída.

No caso do formato DMY, a resposta será apresentada no visor com o dia, o mês e o ano separados entre si por um ponto. No canto direito virá ainda um número indicativo do dia da semana, conforme a seguinte convenção:

N º DIA DA SEMANA

1 Segund.-f.

2 Terça-f.

3 Quarta-f.

4 Quinta-f.

5 Sexta-f

6 Sábado

7 Domingo

Exemplo:

Em 14 de março de 2000 foi feita aplicação num banco para 67 dias. Qual a data de resgate e o dia da semana?

SOLUÇÃO:

f REG

14,032000 ENTER

69 g DATE

VISOR: 22.05.2000 1 ( Segunda-feira )

Calculando o número de dias entre datas

Para determinar o número de dias entre duas datas, proceda de acordo com o roteiro:

1. Pressione as teclas [f] [REG]

2. Digite a data mais antiga

3. Pressione a tecla [ENTER]

4. Digite a data mais atual

5. Pressione, na ordem:

a) [g] [∆DYS] V: n0 real de dias

b) [x↔ y] V: n0 de dias comerciais

Data do seu nascimento

** A HP-12C SÓ EFETUA CALCULOS A PARTIR DE 15/10/1582

** O número de dias comerciais é aquele que considera o ano civil com 360 dias e todos os meses com 30 dias cada.

Porcentagem

Operações comerciais são aquelas realizadas com mercadorias com o objetivo de lucro. Em sua maioria são problemas de porcentagem, que podem serem resolvidos pela HP-12C com auxílio das teclas abaixo:

% ∆% %T

Porcentagem de um número [%]

Calcule as seguintes porcentagens:

1) 37% de 840

SOLUÇÃO: 840 ENTER

37 % VISOR: 310,80

Variação percentual [ ∆% ]

1) Uma mercadoria que custava R$ 8,50 sofreu um reajuste passando a custar R$ 9,90. Qual a taxa de aumento?

SOLUÇÃO:

8,50 ENTER 9,90 ∆%

VISOR: 16,47

Percentual de um numero em relação a outro [%T]

1) Em uma frota de 1400 ônibus, 680 deles se encontram paralisados. Qual o percentual dos ônibus paralisados?

SOLUÇÃO:

f REG

1400 ENTER

680 %T VISOR: 48,57

DESAFIO:

Caso A:

Partimos das seguintes informações:

Com o casamento, Marcelo e Ana tiveram os seguintes gastos:

• 12 prestações de R$ 256, 25 referente à compra dos sapatos e do terno de Marcelo

• R$ 10.586,00 referente ao Buffet da festa sendo que 25% do valor pagos a vista e o restante deveriam ser pago um mês após a contratação.

• R$7.939,50 emprestados por um amigo, para efetuar o pagamento restante do Buffet, pagos após 10 meses, num valor total de R$10.000,00.

• R$ 6.893,17 , utilizados do limite do seu Cheque especial, com taxa de 7,81% a.m., para pagar o restante das despesas.

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17.

• Afirmação errada, pois:

12 x 256,25 = 3.075,00

10.586,00 – 25% = 7.939,50 (25% = 2.646,50)

Pago 10 meses depois um montante de R$10.000,00

Sendo assim: 3.075,00

+ 2.676,50

+ 10.000,00

+ 6.893,17 (limite c/c)

22.614,67 valor total gasto no casamento

II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342 % a.m..

• Afirmativa correta, pois:

Fv = Pv x (1 + i)n

Fv = 7.939,50 x (1 + 0,023342) 10

Fv = 7.939,50 x 1259528

Fv = 10.000,02

III – o juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.896,17, foi de R$ 358,91.

• Afirmativa incorreta, pois:

10 dias – 358,91

7,81% a.m

1 mês - 30 dias

x - 10 dias

1 x 10 = x x 30

x = 0,3333

j = juros (?)

Pv = 6.893,17

i = 7,81% (0,0781)

n = 0,3333

j = Pv x i x n

j = 6.893,17 x 0,0781 x 0,3333

j = 179,45 (valor referente a 10 dias de utilização de cheque especial)

Caso B:

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

• A afirmativa é incorreta, pois:

R$ 6.893,17

7,81% a.m. (composto)

10 dias (0,3333)

Fv= Pv x ( 1 + i ) n

Fv= 6.893,17 x ( 1+ 0,0781) 0,3333

Fv= 6.893,17 x 1,03

Fv= 7.068,14

Sendo: R$ 7.068,14

– R$ 6.893,17

R$ 175,00 de juros no período

O banco cobraria um montante de R$179,45 de juros, por dias utilizados. Neste caso, aos amigos pagariam R$ 175,00 de juros.

ETAPA 2

Aulas-temas: Sequência de pagamentos.

Séries de Pagamentos Uniformes ou Sequência Uniforme

Dizemos que uma série de pagamentos é uniforme se, isto é, se todos os pagamentos ou prestações forem iguais.

Anuidades

Anuidades, rendas certas, prestações, ou série de pagamentos são sucessões de pagamentos, ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital.

Simbologia

PMT ou R – cada pagamento, termo ou prestação de série;

(PMT nas calculadoras)

PV ou P – valor atual da anuidade (principal, valor presente ou capital inicial);

(PV nas calculadoras)

FV ou S – valor futuro da anuidade (montante, capital a construir);

(FV nas calculadoras)

n – número de prestações;

i – taxa unitária de juros

Cálculo do Principal (P)

É uma soma de termos de uma progressão geométrica:

onde:

a1 = 1º termo = 1/(1+i)

q = razão = 1/(1+i)

Sn = soma dos termos PG = P = a1.(qn-1)/(q-1)

Anuidades Antecipadas

Obs.: na HP 12C não se esquecer de acionar BEGIN

Conhecidas no comércio como sistema de prestações com entrada, ou seja, a primeira prestação é paga no ato da compra.

Valor Atual de um Fluxo de Caixa Antecipada

É a soma dos valores atuais (principais) de cada um de seus termos (inclusive anuidades)

OBS.: - antecipadas = Ro

(1+i)0

Cálculo do Principal (P)

Cálculo da Prestação (R)

Anuidades Postecipadas

(Constantes, Imediatas Postecipadas ou Ordinárias)

As anuidades postecipadas são intensamente utilizadas como sistemas de prestações, em que a primeira é paga no final do primeiro período, isto é, crediário sem entrada.

Obs.: postecipadas = R1

(1+i)1

Substituindo temos a fórmula

Cálculo da Prestação (R)

Anuidades Diferidas

São as anuidades ou séries de pagamentos que tem carência no seu prazo de pagamento inicial. Elas possuem mais de um período sem pagamento até que se efetue o primeiro.

Cálculo do Principal (P)

NOTA: Onde “K” é igual ao período de carência – 1.

Sequência Uniforme com Parcelas Adicionais

Podem ser antecipadas ou postecipadas as parcelas adicionais.

Fórmula da antecipada ou da postecipada mais o reforço. O reforço é quando ocorrerão os reforços.

Fórmula da postecipada mais reforço

P = R . (1+i) – 1 + Reforço 1 + Reforço 2 + Reforço n

(1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n

Montante de uma Sequência Uniforme

Chamamos montante de uma sequência uniforme, na data n, a soma dos montantes de cada prestação (capital), aplicado desde a data considerada até a data n.

Fórmula

FV = PMT (1+i)n- 1

i

Sequência Uniforme Infinita (Rendas Perpétuas)

Chamamos de sequência uniforme infinita ou renda perpétuas todo o conjunto de capitais de mesmo valor, nos instantes 1, 2, 3, ... (infinitos termos). Chamando de PMT cada termo da sequência.

Fórmula:

V = PMT

i

DESAFIO

Marcelo adora assistir bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D para ver seus títulos prediletos em casa, como se estivesse numa sala de cinema.

Caso A:

Valor avista da TV: R$4.800,00.

No passado, Marcelo compraria em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00 no cartão de crédito por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento:

• durante 12 meses, aplicará R$350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente. De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações:

I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$600,00;

• Afirmativa incorreta, pois não identificamos neste calculo valor referente ao DVD/Blu-ray.

TV: R$ 4.800,00

12 meses de R$ 350,00 = R$ 4.200,00

conforme sua aplicação totalizando : R$ 4.200,00 + R$ 120,00 (rendimento)

juros = 12 meses (composto)

Sendo:

R$ 4.800,00 – 10% = R$ 4.320,00 - total com desconto á vista

R$: 4.200,00 (total aplicado nos 12 meses)

+ R$ 120,00 (rendimento)

R$ 4.320,00 - total da poupança

II – A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.

• Afirmativa incorreta, pois:

j = Pv x i x n

120 = 350 x i x 12

120= 4200 i

120 = i

4200

i = 0,03 (taxa média)

Caso B:

A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana, a sua irmã Clara, para ser liquidada em doze parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês.

I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.

R$30.000,00

12x

2,8% a.m. (composto)

PMT = ?

Pv = 30.000,00

n = 12

i = 2,8 % (0,0280)

PMT = Pv x i x (1+i)n

(1+i)n -1

PMT = 30000 x 0,0280 x (1+0,0280)12

(1+0,0280)12 -1

PMT= 30000 x 0,0993

PMT= 2.979,00

A citação esta correta , pois, na HP 12C se calcula da seguinte forma:

30.000 CHS PV

12 n

2,8 i

R$ 2.977,99

II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88.

• A citação esta correta, pois o valor se dá em ( HP 12C)

g BEG

30.000 CHS PV

12n ( 1+ 11) entrada mais 11 prestações.

2,8i

R$ 2.886,25

III – Caso Clara opte vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.

Pagamento em 8 parcelas ( 12 – 4 = 8)

• A citação esta incorreta

n = 8

i = 2,8

Fv=30.000,00

PMT = Pv x i x (1+i)n

(1+i)n -1

PMT = 30000 x 0,0280 x (1+0,0280)8

(1+0,0280)8 -1

PMT = 30000 x 0,141257011

PMT = 4.237,71

Na HP 12C:

30.000 chs PV

8 n

2,8 i

PMT

R$ 4.237,71

• Sequência numérica formada a partir dos cálculos do desafio, baseadas nas afirmativas oferecidas:

> 3129

Referências bibliográficas

• PLT 623

• http://www.matematicadidatica.com.br/MatematicaFinanceira.aspx

• www.unisalesiano.edu.br/.../Instruções%20básica%20para%20calculador.

• http://www.somatematica.com.br/emedio/finan.php