Atps processo de integração

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral ∫udv , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferencial de u: du. Parece um tanto incomum a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:

Se , v= ∫ dv + C

∫ udv = u (∫ dv + c) - ∫ (∫ dv + C)

∫ udv = u (∫ dv) + uC –( ∫ ( ∫ dv) du + uC)

∫ udv = u ( ∫ dv ) + uC - ∫ ( ∫ dv ) du-uC

∫ udv = u ( ∫ dv ) - ∫ ( ∫ dv ) du

∫ udv = uv - ∫ vdu

Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.

Considere a seguinte integral:

∫ f ( g (x) ) g’ (x) dx

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u= g (x) , onde g (x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo : du = g’ (x) dx

∫ f (u) du

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.