BASE DE MATEMÁTICAS FINANCEIRAS

Unidade de ensino: Niterói/RJ

Curso: ADMINISTRAÇÃO

Disciplina: Matemática Financeira

Professor (a): Ivonete Melo de Carvalho

Etapa 01, passo 01.

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Toda operação financeira deve estar estruturada em função do tempo e de uma taxa de juros. Abaixo, temos os nomes de cada componente de uma operação, tanto juros simples, quanto o composto:

P= valor presente. É o valor inicial de uma operação.

I= taxa de juros periódicos.

I= a letra i minúscula quer dizer que a taxa I foi dividida por cem.

n= é o período, o tempo que deve estar em acordo com a taxa de juros.

Fn= valor futuro, é composto de amortização mais juros.

É comum tanto aos juros simples quanto aos juros compostos os seguintes itens: fórmula, valor dos juros, valor futuro, capitalização.

Noções de juros simples

A capitalização de juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. O valor do montante de uma divida pode ser calculado de forma linear e até mesmo de maneira intuitiva.

O regime de capitalização simples é uma função linear. O valor Futuro é a somatória do valor principal ou de origem com juros.

São calculados inicialmente os juros, que devem ser pagos em n períodos.

Juros é igual ao valor presente P multiplicado pela taxa e pelo tempo, como observa-se abaixo, na Fórmula 2.1:

〖J 〗_ (n = P x i x n) Fórmula 2.1

Em seguida, o valor de origem é somado aos juros, o que possibilita o cálculo do valor Futuro, conforme a Fórmula 2.2:

F_ (n = P + 〖J 〗_n) Fórmula 2.2

Substitui-se na Fórmula 2.2 a Fórmula 2.1;

Logo:

F_ (n = P + (P x i x n)) Fórmula 2.1

Coloca-se P em evidência, na fórmula 2.3:

〖F 〗_n= P x [1 + (i x n)] Fórmula 2.3

Exemplo

Você pega R$1.000,00 emprestados de um amigo. Você terá que devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros simples e a taxa combinada de 10% ao mês, quanto você deverá pagar a seu amigo?

P= 1.000,00

I=10% ao mês

N= 5 meses

F=?

F= P x [1 + (0,10 x 5)]

F = 1.000 x [1 + (0,10 x 5)]

F = 1.000 x 1,50

F = 1.500,00

Logo, o valor que você terá que pagar ao seu amigo é de R$ 1.500,00.

Noções de juros compostos

No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor Presente P, mas com uma pequena e importante diferença.

Pois o valor inicial deve ser corrigido período após período e essas correções são sobrepostas e sucessivas por n períodos em função de uma taxa de juros contratada.

Se o tempo considerado for ao período e sabendo que (i vezes 1) é igual ao próprio i, a formula geral abaixo poderá ser usada:

F_(n=P x〖(1 + i)〗^n )

Exemplo

Você toma emprestado de um amigo R$ 1.000,00. Você deverá devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros compostos e a taxa combinada, de 10% ao mês quanto você deverá pagar ao seu amigo?

F = 1000 x 〖(1+i)〗^5

F = 1000 x 〖(1,10)〗^5

F = 1.610,51

Logo, o valor que você deverá pagar ao seu amigo é de R$ 1.610,51.

Etapa 01, passo 03

Caso A

Resolução (utilizando a calculadora Hp12c):

I – (ERRADO)

3.075,00 ENTER

2.646,50 +

10.000,00 +

6.893,17 +

22.614,67

O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento não foi de R$ 19.968,17.

II – (CERTO) Para iniciarmos este calculo na tela da Calculadora deverá aparecer à letra c, para que isso aconteça devemos pressionar a telha STO e em seguida a tecla EEX em seguida tem:

10.000,00 CHS e em seguida FV

7.939,50 PV

10 n e em seguida i

2, 3342%

A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

III – (ERRADO)

6.893,17 PV

0.33 n

7,81 i

7.066,37 logo em seguida pressionamos as teclas referentes ao valor 6893,17 depois – 173,20

Os juros do cheque especial cobrados pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, não foram de 358,91.

Resposta – CASO A

Associar o número 3 – I errado, II certa e III errado.

Caso B

Resolução (utilizando a Calculadora Hp12c)

(ERRADO)

6.893,17 PV

0.33 n

7,81 i em seguida FV

7.066,37

O valor não seria alterado, pois os juros do cheque especial também são compostos.

Resposta – CASO B

Associar o número 1, a afirmativa esta errada.

Etapa 02, passo 01

SEQUENCIA DE PAGAMENTOS

Atribui-se o nome de sequencia de pagamentos uniformes a uma situação em que um empréstimo é pago em parcelas iguais e consecutivas, período a período. A sequencia de pagamentos uniformes pode assumir duas formas: a de pagamento postecipado e a de pagamento antecipado.

Sequencia de pagamentos uniformes postecipados

Quando o pagamento for postecipado, o primeiro pagamento ocorre somente ao final do primeiro período.

Valor de parcelas em uma sequencia de pagamentos PMT uniformes postecipados em função da quantidade de parcelas n, do valor Presente P e da taxa de juros i.

Exemplo:

Um colega lhe pede R# 1.000,00 emprestados. Para correr o risco, cobra dele uma taxa de juros de 10% ao mês. Ele vai lhe pagar em 5 parcelas iguais (0+5). Determine o valor de cada uma.

Nesse exemplo, o valor IGUAL das parcelas é a incógnita e é representado por PMT. Sempre que se trabalha com pagamentos constantes PMT, a letra´n`` deve se referir ao numero de parcelas.

Resolução pela calculadora HP12c:

1.000 CHS depois PV

0 FV

5 n

10 i

PMT VISOR 263,79

Seu amigo deverá lhe pagar 5 parcelas de R$ 263,79. Esse valor deve ser positivo, pois, para você, ele é uma entrada de caixa.

Sequencia de pagamentos uniformes antecipados

A denominação pagamento antecipado se refere a uma situação em que o primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial (no inicio do período). A s demais parcelas assumem individualmente um valor idêntico a esse durante todo o período da operação.

Exemplo:

Você decide comprar um eletrodoméstico de R$ 1.000,00 em 5 parcelas (1 + 4) iguais com entrada igual as parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor de cada parcela.

Resolução pela calculadora HP12c:

Para calcular o valor das 5 parcelas, com entrada paga no inicio, a HP tem uma função especial, que deve ser acionada antes do calculo. A função é denominada BEGIN (significa inicio). Ela é acionada pelas teclas g e pela tecla 7 que em baixo esta escrito BEGE.

1.000 PV

0 FV

5 n

10 i

PMT VISOR -239,81

Você deverá pagar 5 parcelas de R$239,81 a primeira no ato da compra.

Etapa 02, passo 03

Caso A

Resolução Caso A (utilizando a calculadora HP12c):

I – O valor orçado inicialmente da TV foi de R$ 4.800,00. Com o planejamento financeiro, Marcelo juntou o valor de R$ 4.320,00 depois de 12 meses. Após esse período achou uma promoção do valor inicial da TV, com 10% de desconto a vista, totalizando o valor de R$ 4.320,00, assim Marcelo não teve custo na aquisição do DVD-Blu-ray de R$600,00 (ERRADA).

II – (ERRADA)

4.200,00 PV

12 n

4.320,00 CHS e em seguida FV

i VISOR 0,2350%

a taxa média da poupança nos 12 meses não foi de 05107% e sim de 0,2350%.

Resposta – CASO A

Associar o número 2, I errado e II errado.

Caso B

Resolução Caso B (utilizando a calculadora HP12c):

I – (CERTO)

30.000,00 CHS e logo em seguida PV

0 FV

2.8 i

12 n

PMT VISOR R$2.977,99

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito, ela pagara R$2.977,99 a cada prestação.

II – (CERTO)

Acionar a função BEGIN

30.000,00 PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT VISOR 2.896,88

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia da concessão do crédito, ela pagará 2.896,88 a cada prestação.

III –(ERRADO)

A fórmula a ser utilizada é:

PMT= (PV x 〖(1+i)〗^(c-1 ) x i)/(1- 〖(1+i)〗^(-n) )

PMT = (30.000 x 〖(1+0,0280)〗^(4-1 ) x 0,0280)/(1- 〖(1+0,0280)〗^(-12) )

PMT = (30.000 x 1,0864 x 0,0280)/0,2821

PMT = 912,57/0,2821

PMT = 3.234,93

Caso Clara opte pagar a primeira prestação 4 meses após a concessão de crédito o valor que ela pagara em cada prestação não será de R$3.253,21 e sim de R$3.234,93.

Resposta – CASO B

Associar o número 9, I certo, II certo e III errado.

Etapa 03, passo 01

JUROS COMPOSTO

Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros compostos fazem parte de disciplinas e conceito de matemática financeira, e esses juros são representados através de um percentual.

A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro, e o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia.

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros compostos incidem mês a mês, de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal. Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos. Os juros compostos são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, e é conhecido como “juro sobre juro”.

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é:

FV=PV(1+i)^n

, ou, invertendo os termos,

PV=\frac{FV} {(1+i)^n\,}

, onde

FV: Valor Futuro (do inglês Future Value)

PV: Valor Presente (do inglês Present Value)

i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)

n: Número de períodos

Etapa 03, passo 03

Caso A

I – (CERTO)

6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ^ 1389

(1,51)^1389 = 1+ i

1.0002987 – 1= i

0,0002987 = i

i = 0,02987%

A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.

II – (ERRADO)

6481,76 =

4280,87 (1+i) 30

(1,51)^30 = 1+i

1,01383 – 1 = i

I = 1,3831%

A taxa média mensal de remuneração é de 1,3831% e não 1,2311%.

III – (ERRADO)

Pv

= 4.280,87

Fv

= 6.481,76

N = 1389

dI = 0,02987%

A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada

mensalmente, é de 0,02987% e não 11,3509%.

Resposta – CASO A

Associar o número 3, I certo, II errado e III errado.

Caso B

(ERRADO)

Taxa real = 1 + ir / 1 + i inf - 1 x 100 =

1 + 0,2578 / 1 + 1,2103

=

1,2578 / 2,2103 =

0,5690 - 1 x 100 =

43,093 %

Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de 43,093% e não 43,0937%.

Resposta – CASO B

Associar o número 6, errado.

Etapa 04, passo 01

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

No Brasil, existe amortização contábil, cujo conceito não se restringe à diminuição de dívidas, mas também a direitos intangíveis classificados no ativo (conta de balanço), derivado da teoria de dimensão econômico dos fundos contábeis. Assim, associa-se o termo amortização contábil, à depreciação contábil (redução de bens tangíveis) e à exaustão contábil (recursos naturais).

Etapa 04, passo 03

Caso A

CALCULO DOS JUROS

Jn SDn-1 X i

J1 30.000,00 x 0,0280 = R$ 840,00

J2 27.500,00 x 0,0280 = R$ 770,00

J3 25.000,00 x 0,0280 = R$ 700,00

J4 22.500,00 x 0,0280 = R$ 630,00

J5 20.000,00 x 0,0280 = R$ 560,00

J6 17.500,00 x 0,0280 = R$ 490,00

J7 15.000,00 x 0,0280 = R$ 420,00

J8 12.500,00 x 0,0280 = R$ 350,00

J9 10.000,00 x 0,0280 = R$ 280,00

J10 7.500,00 x 0,0280 = R$ 210,00

J11 5.000,00 x 0,0280 = R$ 140,00

J12 2.500,00 x 0,0280 = R$ 70,00

CALCULO DO VALOR DAS PARCELAS

PMTn An + Jn

PMT1 2.500,00 + 840,00 = R$ 3.340,00

PMT2 2500,00 + 770,00 = R$ 3.270,00

PMT3 2500,00 + 700,00 = R$ 3.200,00

PMT4 2500,00 + 630,00 = R$ 3.130,00

PMT5 2500,00 + 560,00 = R$ 3.060,00

PMT6 2500,00 + 490,00 = R$ 2.990,00

PMT7 2500,00 + 420,00 = R$ 2.920,00

PMT8 2500,00 + 350,00 = R$ 2.850,00

PMT9 2500,00 + 280,00 = R$ 2.780,00

PMT10 2500,00 + 210,00 = R$ 2.710,00

PMT11 2500,00 + 140,00 = R$ 2.640,00

PMT12 2500,00 + 70,00 = R$ 2.570,00

N SD An Jn PMT

0 R$ 30.000,00 R$ - R$ - R$ -

1 R$ 27.500,00 R$ 2.500,00 R$ 840,00 R$ 3.340,00

2 R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 770,00 R$ 3.270,00

3 R$ 22.500,00 R$ 2.500,00 R$ 700,00 R$ 3.200,00

4 R$ 20.000,00 R$ 2.500,00 R$ 630,00 R$ 3.130,00

5 R$ 17.500,00 R$ 2.500,00 R$ 560,00 R$ 3.060,00

6 R$ 15.000,00 R$ 2.500,00 R$ 490,00 R$ 2.990,00

7 R$ 12.500,00 R$ 2.500,00 R$ 420,00 R$ 2.920,00

8 R$ 10.000,00 R$ 2.500,00 R$ 350,00 R$ 2.850,00

9 R$ 7.500,00 R$ 2.500,00 R$ 280,00 R$ 2.780,00

10 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00 R$ 210,00 R$ 2.710,00

11 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 R$ 140,00 R$ 2.640,00

12 R$ - R$ 2.500,00 R$ 70,00 R$ 2.570,00

TOTAL R$ 30.000,00 R$ 5.460,00 R$ 35.460,00

Resposta – CASO A

Associar o número 3, a afirmação esta errada.

Caso B

Resposta – CASO B

Associar o número 1, a afirmação esta errada.

Bibiografia:

Livro da Disciplina Matemática Financeira com HP 12c e Excel (PLT nº623)

http://www.administradores.com.br/shopping/livros/fundamentos-de-matematica-financeira/124/

http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasAmortizacao.aspx

http://www.significados.com.br/juros-compostos/