Cônicas e Quádricas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÔNICAS E QUÁDRICAS

Santa Maria, RS, Brasil

2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÔNICAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS COM GEOGEBRA

FERNANDO RENAN RISSI

JEAN CLEBER LEAL TEIXEIRA

SANTA MARIA, RS

2015

1 - INTRODUÇÃO

        Os textos apresentados constituem um relatório elaborado após a visualização de vídeos que falam sobre cônicas e superfícies quádricas com o uso do geogebra, respectivamente. Os vídeos citados foram retirados da internet, conforme citação ao final. Para redigir o relatório, visualizamos os vídeos procurando compreender da melhor maneira possível o conteúdo explicado.

        

2 - DESENVOLVIMENTO

CÔNICAS

O material que fala sobre cônicas é uma video-aula, onde o expositor utiliza-se das ferramentas do software Geogebra, a fim de tornar clara a compreensão das seguintes figuras geométricas:

• Parábola
• Elipse
• Hipérbole

PÁRABOLA

Inicia-se o vídeo  com a definição de parábola que diz:

" Uma parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo F(foco) e de uma reta fixa r(diretriz)."

Na tela do Geogebra, o expositor, utilizando a ferramenta reta, constrói uma reta cujos pontos são [pic 1] e [pic 2]. Em seguida, com a ferramenta ponto, é criado um ponto [pic 3]. Com isso foram obtidos os elementos suficientes (foco e reta diretriz) para se construir uma parábola. Ao selecionar a ferramenta parábola, clicando no ponto C que está sobre o eixo das abscissas  e na reta r paralela ao mesmo eixo, cria-se imediatamente uma parábola.

        Feito isso pudemos observar que ao movimentar o ponto C no eixo y, a parábola mantinha seu vértice no ponto médio da distância entre o foco e a reta diretriz.

        Na explicação seguinte, o expositor tinha como objetivo construir uma parábola cujo vértice deveria se manter fixo na origem das coordenadas cartesianas. Para isso ele construiu um ponto A sobre o eixo y e um ponto simétrico a A chamado B com coordenadas [pic 4], e ao modificar a posição de A pudemos ver que B é simultaneamente redefinido. Logo após selecionando o ícone reta paralela, ele criou uma reta paralela ao eixo das abscissas que passa pelo ponto B . O ponto A passa a ser o foco e B um ponto na reta diretriz. Com a ferramenta parábola e clicando no foco e na diretriz fora criada uma parábola que ao modificar-se a coordenadas do ponto A(foco) percebemos que o vértice manteve-se em [pic 5] e a abertura da parábola aumentava a medida que o foco se distanciava da reta diretriz e diminuía a medida que se aproximava.

[pic 6]

Fig.1 Parábola

ELIPSE

        Como na cônica anterior, a explicação inicia-se com a definição de elipse que diz:

" Uma elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (foco) é constante."

        Exibindo a malha e ocultando os números das coordenadas, o expositor inicia a explicação somente com os eixos e a malha na tela do geogebra. Em seguida, cria dois pontos [pic 7]e [pic 8] sobre o eixo x e que serão os focos da elipse. Selecionando o ícone elipse, clicando nos focos e em um ponto qualquer A, fora criada a elipse.

         Achamos interessante o fato de que conforme muda-se as coordenadas do ponto A, a excentricidade da elipse também é alterada. Outro fato é que colocando os focos F1 e F2 sobre a origem a elipse passa a ser uma circunferência.

[pic 9]

Fig.2 Elipse

[pic 10]

Fig.2a Elipse

Obs:   Notemos que na fig 2a foi criado um ponto E a fim de mostrar que a soma das distâncias dos focos até o ponto é a mesma do ponto A até os focos da elipse.

HIPÉRBOLE

                Partindo-se da seguinte definição: " Hipérbole é um conjunto de todos os pontos de um plano, tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos do plano (os focos) é constante " o narrador do vídeo inicia a explicação da referida cônica.

        Com a ferramenta hipérbole do geogebra e seguindo a ajuda da ferramenta o narrador cria os pontos [pic 11] e em seguida o ponto [pic 12]. Com isso, a hipérbole criada possui focos em A e B. Um ponto D sobre um dos eixos da hipérbole é criado. Logo em seguida , com segmentos que vão do ponto [pic 13] ao foco 1 e de [pic 14]ao foco 2, e criando um [pic 15] nota-se que [pic 16] não se altera a medida que são mudadas as coordenadas do ponto [pic 17].

[pic 18]

Fig.3 Hipérbole

[pic 19]

Fig.3a Hipérbole