CALCULO 2

ETAPA 1 – CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

PASSO 1

Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média. Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Exemplo: Função x = 4t²+ t3 + 7t – 8

• Velocidade no tempo 3s

V=d.x 8t + 3t² +7

V=8.3+3.3²+7

V= 58 m/s

• Aceleração no tempo 26s

V=d.x 8t + 3t² + 7

a=d.v 8+6.t

a= 8+6.t

a=8+6 .26

a=164 m/s²

PASSO 2

Gráfico s(m) x t(s) x = 4t²+ t3 + 7t – 8

t(s) x(m)

0 -8

1 4

2 30

3 76

4 148

5 252

Gráfico v(m) x t(s) v = 8t + 3t² +7

t(s) v(m)

0 7

1 18

2 35

3 58

4 87

5 122

Obtemos uma função crescente, com uma variação do espaço percorrido de 260 metros e uma variação de velocidade de 115 m/s² para o intervalo dado.

A=b.h/2 = 5.115/2 = 550/2= 287,5m²

PASSO 3

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo