CALCULO 2

Índice

Introdução - Desafio

ETAPA 1

1.1-Passo 1

1.2-História do Cálculo

1.3 –Integrais

2.1-Passo 2 Desafios A,B,C,D

3.1-Passo 3 Cálculos e justificativas do passo 2

4.1-Passo 4 Sequencia das respostas do passo 3

ETAPA 2

1.1-Passo 1

1.2-integração por partes

1.3-integração por substituição

1.4-integração por substituição trigonometria

3.1-Passo 3

3.2-Cálculos realizados e valores atribuídos

4.1-Passo 4 sequencia obtida no passo 3

5.1-Referencias bibliográficas

DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e antissépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil. Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém-descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Etapa 1

Passo 1

A integral foi um calculo descoberto para o uso de calculo de área exato .E o atps mostra esses cálculos usados na pratica da vida real, e em alguns desafios que nos treinam para compreendermos a matéria . dentro de todos os desafios os cálculos de cada passo nos dão um numero que equivale as respostas dadas dos desafios , esses números ao final Dara m a resposta do desafio do atps .

Objetivos

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos instrumentais engenharia.

Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

Identificar, formular e resolver problemas de engenharia.

Realizar desafios para melhor compreender a matéria calculo III.

Historia dos surgimentos das integrais

Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas.

Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física.

Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje.

O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a ideia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As ideias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento “infinitesimal”.

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no século XVII, à ideia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado.

Passo 2

Desafio A

ʃ a³/3+3/a³+3/a =

(a33+3a3+3 a) =

F(a) =13a3+31a3+31a=

F(a) =13. a44+31.a-2-2+3.lna=

F

(a) =a^4/12+3/2a²+3ln/a/+c

Desafio B

C(q)1000+50q

1000dq+50 d.dq=

C(q) =1000q+50q22=

C(q) =1000q+25q2+c=

C(q) =1000+25q2+10000

Desafio C

C(t) = 16,1. e^(0,07.t)

C(2) =16,1.e^0,07.2

C(2) =16,1.e0,14

C(2) =16,1.1,15

C(2) =18,52

C(4) =16,1.e0,07.4

C(4) =16,1.e0,28

C(4) =16,1.1,32

C(4) =21,30

C(2) =18,26+ C(4) =21,30 =

39,76 bilhões de barris de petróleo

Desafio D

A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por:

ex2= eu 2du=2.eudu= 2.eu +c = 2.ex2+c

u= x2=12x

du = 12dx -322.e22=5,43

dx= 2du-322.e-32=0,44

5,43 – 0,44= 4,99

PASSO 3

Para o Desafio A:

O resultado q tivemos nesse calculo e a alternativa (b) que nos leva ao numero (3).

Para o Desafio B:

O resultado q tivemos nesse calculo e a alternativa (a) que nos leva ao numero (0). onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará o custo final conforme a variação da medida da perfuração.

Para o Desafio C:

O resultado q tivemos nesse calculo e a alternativa (c) que nos leva ao numero (1) estabelecemos duas soluções usando o algarismo final dos anos citados no desafio, no caso de 1992 usamos o número 2, e no caso de 1994 usamos o número 4, quando esses valores foram substituídos nas formulas gerou um resultado que ao somados mostrou a quantidade de petróleo consumida no período de 1992 a 1994.

Para o desafio D:

O resultado q tivemos nesse calculo e a alternativa (a) que nos leva ao numero (9)., nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição para integração, onde chegamos ao valor final desejado de 4,99 correspondente a alternativa (a).

PASSO 4

Após realizarmos as etapas anteriores efetuando os cálculos conseguimos encontrar uma sequencia de números 3019, portanto esse resultado é quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente visando os cálculos dos quatros primeiros desafios que compõe a nossa ATPS.

Etapa 2

Pass1

Passo 2∫〖(3.-t)〗 . (t^2 -6t)^4 dt

w = t² - 6t w4- dw2

dw = 2t – 6 dt -12 w4 dw

dw = 2(t – 3) dt →→→ -12 ∙ w55+ C

-dw2=t-3dt t2-6t5+c/10

∫_0^5t/√(t+4)dt=4,67

05t dtt+4

2 t-2 ∙43 ∙ 12 t+4

2t-83= t+4

2 ∙5-83= 5+4 2 ∙0-83= 0+4

-2 • 3 →→→ - 163 ∙2

-6 -323= -10,67

-6+10,67=4,67

Passo 3

Após resolver o exercício podemos verificar q a alternativa correta e a (a)

Passo 4

Relatório 2

Os cálculos feitos nessas etapas do atps , faz com que entendemos e aprendemos melhor como funciona um calculo de integral .. usando algumas regras, como de substituição .E nos ajudou a compreender a importância do manuseio das técnicas da integração . feitas em todas as etapas.

O numero encontrado foi o n°4

Referencias

https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral

Plt matemática aplicada.

E aprendizado em sala de aula.