CALCULO

Equa¸c ˜oes da reta

Dado um ponto Po(xo, yo, zo) e umvetor n˜ao nulo ~V = (a, b, c), a reta que passa pelo

ponto Po e ´e paralela a ~V ´e o conjunto de pontos P(x, y, z), tais que −→ OP = −→ OPo + t~V ,

onde t ´e um parˆametro real. Isto nos leva `as seguintes equa¸c˜oes param´etricas da reta:

x = xo + at, y = yo + bt e z = zo + ct. (1.1)

Se quisermos as equac¸ ˜oes param´etricas da reta que passa por dois pontos distintos

Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), basta tomarmos −→V = −P−o→P1 = (x1 − xo, y1 − yo, z1 − zo) na

equac¸ ˜ao em (1.2).

Exerc´ıcio 1.1. Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa pelos pontos (0, 0, 1) e

(1,−1, 2).

Exerc´ıcio 1.2. Dados dois pontos distintos Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), verifique que as

equa¸c˜oes

x = xo(1 − t) + x1t, y = yo(1 − t)y + y1t e z = zo(1 − t) + z1t, (1.2)

onde 0 ≤ t ≤ 1, descrevem os pontos do segmento de reta indo de Po a P1.

1

Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ent˜ao os vetores −→ PoP e ~N s˜ao ortogonais,

portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,

−Po→P · ~N = (x − xo, y − yo, z − zo) · (a, b, c) = ax + by + cz − (axo + byo + czo) = 0,

o que nos leva a seguinte equac¸ ˜ao para o plano

ax + by + cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)

Tamb´em podemos determinar a equac¸ ˜ao do plano que passa por trˆes pontos n˜ao

alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta observarmos que o vetor

~N

≡ −P−o→P1 × −P−o→P2

´e perpendicular ao plano, ent˜ao a partir dele e de um dos pontos dados, digamos Po,

usamos (1.3) e obtemos a equac¸ ˜ao do plano. Ou seja, a equac¸ ˜ao do plano ´e dada pelo

produto misto

−Po→P · (−P−o→P1 × −P−o→P2) = det





x − xo y − yo z − zo

x1 − xo y1 − yo z1 − zo

x2 − xo y2 − yo z2 − zo



 = 0.