CALCULO III

Anhanguera Educacional – 2°semestre - 2012

Bibliografia adotada: (PLT) Hughes-Hallett; Gleason; McCallum et al. Cálculo

de uma variável. 3ª ed Rio de Janeiro: LTC, 2002.

Teorema Fundamental do Cálculo:

Considere uma função real f é contínua num intervalo

[a,b]. Denominamos integral de f, de a a b, e indicamos

por:

Onde F é uma primitiva qualquer de f.

Esse método de se calcular integrais definidas nos dá uma

resposta exata.

Exemplos: (serão resolvidos na lousa)

1) Calcule:

a)

b)

c)

d)

INTEGRAL DEFINIDA

Seja inicialmente f uma função contínua num intervalo

[a,b] e tal que f(x) 0 para todo x [a,b].

Vamos calcular a área da região compreendida entre o

gráfico de f e o eixo x, para x variando em [a,b].

Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo

[a,b], constituída pelo conjunto de pontos P = {a = x0, x1,

x2, . . . ,xn = b}.

No caso de tomarmos as n divisões de [a,b] todas do

mesmo tamanho, temos que cada um dos subintervalos

terá comprimento x = xi – xi-1, para 1 i n.

A área de cada um desses retângulos é,

aproximadamente igual, à área sob a curva dada em

cada um desses subintervalos .

E a soma das áreas dos n retângulos, chamada de

soma de Riemann da função ƒ(x) no intervalo [a,b],

que indicaremos por Sn, é dada por

Sn = ƒ (x1) Dx + ƒ (x2) Dx + . . . + ƒ (xn) Dx

e fornece um valor aproximado da área A sob a curva

dada.

É fácil notar que, quanto maior o número de

retângulos construídos, mais a soma Sn se aproxima

do valor da área real A sob a curva.

Portanto:

A =

A = lim [ ( ) ( ) . . . ( ) ] 1 2 f x x f x x f x x n

n

D + D + + D

® +¥

onde Dx é a amplitude do intervalo [a , b] dividido em n

partes, ou seja, Dx =

n

b - a .

Logo, a área sob a curva y = ƒ (x) no intervalo a £ x £ b é

dada por ∫

b

a

f ( x) dx , que é chamada de integral definida

de ƒ(x) no intervalo [ a , b ] .

Exemplo:

Consideremos a área da região R delimitada pelo gráfico

da função ƒ (x) = 2x , o eixo x, e as retas x = 1 e x = 4.

Vamos inicialmente, dividir o intervalo [1,4] em 3

subintervalos, conforme a figura a seguir:

Nesse caso, cada subintervalo tem amplitude Dx =

1

3

4 1 - = , e as extremidades esquerdas de cada

retângulo serão:

x1 = a = 1 , x2 = 1 + Dx = 1 + 1 = 2 e x3 = 2

+ Dx = 2 + 1 = 3 .

Desse modo, a área A é dada, aproximadamente, por:

S3 = ƒ (x1) Dx + ƒ (x2) Dx + ƒ (x3) Dx = ƒ ( 1 )

Dx + ƒ ( 2 ) Dx + ƒ ( 3 ) Dx =

= 2. 1 + 4 . 1 + 6 . 1 = 2 + 4 + 6 = 12

No caso de subdividirmos o intervalo [1,4] em 6

subintervalos teríamos a seguinte situação :

A