CAlculo III

m circuito resistor-capacitor/condensador (circuito RC), filtro RC ou malha RC, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos.1 Ele consiste de um resistor e de um capacitor/condensador, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão.2

Índice [esconder]

1 Introdução

2 Impedância complexa

2.1 Estado sinusoidal constante

3 Circuito série

3.1 Funções de transferência

3.1.1 Pólo e zeros

3.2 Ganho e fase angular

3.3 Corrente

3.4 Resposta de impulso

3.5 Considerações no domínio da frequência

3.6 Considerações no domínio do tempo

3.6.1 Integrador

3.6.2 Diferenciador

4 Circuito paralelo

5 Referências

6 Ver também

Introdução[editar | editar código-fonte]

Existem três componentes básicos de circuitos analógicos: o resistor (R), o capacitor/condensador (C) e o indutor (L). Estes podem ser combinados em quatro importantes circuitos, o circuito RC, o circuito RL, o circuito LC e o circuito RLC, com as abreviações indicando quais componentes são utilizados. Estes circuitos, entre eles, exibem um grande número de tipos de comportamentos que são fundamentais em grande parte da eletrônica analógica. Em particular, eles são capazes de atuar como filtros passivos. Este artigo considera o circuito RC, em ambas as ligações paralela e série, como mostrado nos diagramas.

Este artigo se baseia no conhecimento da representação complexa das impedâncias e no conhecimento da representação de sinais no domínio da frequência.

Impedância complexa[editar | editar código-fonte]

A impedância complexa ZC (em ohms) de um capacitor com capacitância C (em farads) é:

Z_C = \frac{1}{Cs}

A frequência angular s é, em geral, um número complexo,

s \ = \ \sigma + j \omega

onde:

j representa a unidade imaginária:

j = \sqrt{-1}

\sigma \ é a constante de decaimento exponencial (em radianos por segundo)

\omega \ é a frequência angular sinusoidal (em radianos por segundo).

Estado sinusoidal constante[editar | editar código-fonte]

O estado sinusoidal(senoidal) constante é um caso especial em que a tensão de entrada consiste de uma senóide pura (sem nenhum decaimento exponencial). Como resultado, temos

\sigma \ = \ 0

e a avaliação de s se torna

s \ = \ j \omega

Circuito série[editar | editar código-fonte]

Circuito RC série

Vendo o circuito como um divisor de tensão, vemos que a tensão sobre o capacitor é dada por:

V_C(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)

e a tensao sobre o resistor é dada por:

V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s).

Funções de transferência[editar | editar código-fonte]

A função de transferência para o capacitor é

H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) } = { 1 \over 1 + RCs } = G_C e^{j \phi_C}

Similarmente, a função de transferência do resistor é

H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { RCs \over 1 + RCs } = G_R e^{j \phi_R}

Pólo e zeros[editar | editar código-fonte]

Ambas as funções de transferência possuem um pólo localizado em

s = - {1 \over RC }

Em adição a função de transferência do resistor possui um zero localizado na origem.

Ganho e fase angular[editar | editar código-fonte]

Os ganhos através dos dois componente são:

G_C = | H_C(s) | = \left|\frac{V_C(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}

e

G_R = | H_R(s) | = \left|\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}},

e as fases angulares são:

\phi_C = \angle H_C(s) = \tan^{-1}\left(-\omega RC\right)

e

\phi_R = \angle H_R(s) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\omega RC}\right).

Estas expressões juntas podem ser substituídas pela expressão usual do fasor representando a saída:

V_C \ = \ G_{C}V_{in} e^{j\phi_C}

V_R \ = \ G_{R}V_{in} e^{j\phi_R}.

Corrente[editar | editar código-fonte]

A corrente no circuito é a mesma em todos os lugares, visto que o circuito apresenta somente ligações série:

I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+1/ Cs} = { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)

Resposta de impulso[editar | editar código-fonte]

A resposta de impulso para cada tensão é a transformada de Laplace inversa de função de transferência correspondente. Ela representa a resposta de um circuito a uma tensão de entrada consistindo de um impulso ou de uma função delta.

A resposta de impulso