Calculo 1

A.6 Limite e monotonicidade

Nesta se¸c˜ao, vamos mostrar dois resultados que garantem a existˆencia do limite de sequˆencias

e de fun¸c˜oes mon´otonas. A demonstra¸c˜ao destes resultados est´a diretamente ligada `a propriedade da completude da reta R. O primeiro afirma que uma sequˆencia mon´otona limitada

sempre possui um limite.

Proposi¸c˜ao A.13. Se (an) ´e mon´otona e limitada, ent˜ao an → a, para algum a ∈ R.

Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que (an) ´e n˜ao-crescente. Definimos o conjunto

C = {an : n ∈ N}

e o conjunto

B = {b : b 6 an para todo n ∈ N},

ilustrados pela Figura A.15.

Figura A.15. Conjuntos B e C.

Temos que C ´e n˜ao-vazio e, como (an) ´e limitada, temos que B tamb´em ´e n˜ao-vazio.

Al´em disso, por defini¸c˜ao, temos que B 6 C. Logo pela completude de R, existe a ∈ R tal

que B 6 a 6 C. Dado ε > 0, temos que a + ε n˜ao pertence a B. Logo existe n(ε) tal que

an(ε) < a + ε.

Como a 6 C e como (an) ´e n˜ao-crescente, temos ent˜ao que

n > n(ε) ⇒ a 6 an 6 an(ε) < a + ε.

Portanto

n > n(ε) ⇒ 0 6 an − a < ε,

mostrando que an → a. O caso em que (an) ´e n˜ao-decrescente pode ser reduzido ao caso

demonstrado acima, o que ´e deixado como exerc´ıcio.