Calculo 1

AULA 25

11 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

11.1 – INTRODUÇÃO:

Definição: Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada

ou diferencial destas funções, denomina-se equação diferencial.

Exemplos:

1) = 3x −1

dx

dy

2) xdy − ydx = 0

3) 0 2

2

+ y =

dx

d y

4) 0 2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

y

Z

x

Z

Classificação: A função y é denominada incógnita de uma variável independente de x. Quando

existe apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária, quando há mais de

uma variável livre, equação diferencial de derivadas parciais (4o exemplo).

Ordem: A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais alta

ordem contida na equação.

Grau: Supondo-se a equação escrita sob forma racional inteira em relação às derivadas, o grau

da equação é o maior dos expoentes a que esta elevada a derivada de mais alta ordem contida

na equação.

Exemplos:

1

3

3 3

3

− =

dx

d y

y

dx

x d y ⇒ 3

2 3

3

3

dx

y d y

dx

x d y − = ⎟

⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

⇒ 3a ordem e 2o grau

Lg x y

dx

Lg dy − 2 = ⇒ y

x

dx

dy

Lg = 2 ⇒ ey

dx

dy

x

1 . =

2 ⇒ x ey

dx

dy = 2 ⇒ 1a ordem e 1o grau

Observe que x

y

dx

dy

2) y arctgx

dx

(1+ x2 ) dy + =

3) tgx y x

dx

dy = . + cos

4) x

x

y

dx

dy − =

5) 3 2 x

x

y

dx

dy + =

6) Achar a solução particular para y = 0 e x

= 0 em

x

ytgx

dx

dy

cos

− = 1

Respotas:

1) [ senx C]

x

y = 1 ln( ) +

2) y = arctgx −1+ C.e−arctgx

3) y x sen2x C sec x

4

1

2

1

1⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ + +

4) y = Cx + x2

5) 2

4

6

1

x

y = x + C

6)

x

y x

cos

=

Cálculo Diferencial e Integral

148

AULA 29

11.6 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Equação da forma:

Py Qyn

dx