Calculo 1

Teorema : Seja f : A
R uma função de classe C^2 definida num

aberto A Ì R^ n : Suponha que P Î A , seja um ponto crítico de f: Sejam

l1,l2,l3....ln os autovalores da matriz hessiana de f em P e H(P) o hessiano

de f em P: Temos

1. se ¸j > 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de mínimo local de f;

2. se ¸j < 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de máximo local de f;

3. se existirem dois autovalores li e lj com sinais opostos então P é um ponto

de sela de f;

4. nos demais casos, isto é,

(a) lj ³ 0 ; para todo i £ j £ n e existe um autovalor¸ i = 0 ou

(b) lj £ 0 ; para todo i £ j £ n e existe um autovalor¸ i = 0 não podemos afirmar

nada sobre a natureza do ponto crítico P.

Para comprovarmos que tal teorema é verdadeiro, compararemos os valores

obtidos através do teorema com o gráficos que serão plotados no

Mathematica.

Letra A)

G(x,y) = Sin[x]*Cosh[y]

Gx = Cos[x]*Cosh[y]

Gy = Sin[x]*Sinh[y]

Nos pontos onde a primeira derivada é zero temos um ponto de máximo,de

mínimo ou de sela, temos então que determinar tais pontos:

p/ x = p / 2 y = 0

p/ x = 3p / 2 y = 0

Temos então dois pontos candidatos a mínimo da função:

A=(p / 2 , 0)

B=(3p / 2 , 0)

Encontrando as derivadas de segunda da função G(x,y) podemos encontrar a

Hessiana desta.

Gxx = Sen(x)*Cosh(y) Gyx = Cos(x)*Senh(y)

Gxy = Cos(x)*Senh(y) Gyy = Cos(x)*Senh(y)

Trabalho de Cálculo II – Eduardo Silva Martins 3

SenxCoshy CosxSenhy

CosxSenhy SenxCoshy



Assim, no ponto A, a Hessiana é:

1 0

0 1



Como existe um autovalor negativo e outro positivo o ponto A é um ponto de