Calculo 1

Exerc´ıcio 1.1

Em cada um dos itens abaixo responda se a afirma¸c˜ao ´e verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser

verdadeira esboce as id´eias de uma demonstra¸c˜ao e se for falsa dˆe um contra-exemplo:

( ) Cada ponto da reta real R pode ser representado por uma decimal peri´odica.

( ) π =

22

7

.

( ) Se z ∈ N e x < y ent˜ao xz < yz.

( ) Se z ∈ R e x ≤ y ent˜ao xz ≤ yz.

( ) Se x > y ent˜ao |x − y| = x − y.

( ) Para quaisquer x, y ∈ R temos |x + y| = |x| + |y|.

( ) Se a e b s˜ao irracionais ent˜ao a + b tamb´em ser´a.

( ) Se a e b s˜ao irracionais ent˜ao a.b tamb´em ser´a.

( ) Se a e b s˜ao racionais ent˜ao a + b tamb´em ser´a.

( ) Se a e b s˜ao racionais ent˜ao a.b tamb´em ser´a.

( ) Se a ´e racional e b ´e irracional ent˜ao a.b ´e racional .

( ) O gr´afico da fun¸c˜ao y = x

2 + 1 ´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo dos x’s.

( ) O maior diˆametro da elipse 2x

2 + y

2 = 2 ocorre na horizontal.

( ) O v´ertice da par´abola y = 2 − x

2 ´e ponto (0, 2).

( ) O dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) = q x

2−x

´e o intervalo [0, 2).

( ) A imagem da fun¸c˜ao f(x) = 4 − x

2 ´e o intervalo (−∞, 4].

( ) Se f(x) = x

2−4

x−2

ent˜ao f(2) = 4.

( ) O gr´afico da equa¸c˜ao y

2 = x ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao de x.

( ) A subconjunto do plano {(x, y) : x

2 + y

2 = 1, y ≥ 0} ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao de x.

( ) A fun¸c˜ao f(x) = x

2

x2+1 ´e uma fun¸c˜ao racional.

( ) A imagem da fun¸c˜ao f(x) = sen(x)

cos(x)

´e toda a reta R.

( ) A equa¸c˜ao sen(2x) = 2 ´e satisfeita infinitos valores de x.

( ) (sen(x) + cos(x))2 − 1 = sen(2x) para todo x.

Exerc´ıcio 1.2

Encontre o conjunto solu¸c˜ao das seguintes desigualdades:

1)|1 − 3x| < 5 2)|x

2 + 3| > 3 3) x

2 < 9

4) x

2 > −1 5) x

2 < 6x − 5 6) x

3 > 27

7) x − 6

x + 2

≥ 0 8) (x + 2)(x − 3)

x(x

2 + 1) < 0 9) 8

x

< x − 2

10) 3

x − 2

<

1

2x