Calculo

1. Objetivo

O objetivo desse ATPS é poder desenvolver um conhecimento melhor sobre o cálculos das integrais, tanto pelo método das indefinidas, definidas ou pelo método de substituição.

Etapa 1 - Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Passo 1: Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Calculo historia das integrais

Os irmãos Jacques e Jean Bernoulli que contribuíram de modo inigualável na criação e desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Jean Bernoulli morreu vítima da loucura na cidade de Basiléia, no dia 03 de janeiro de 1748, com 81 anos de idade.

Como a integral definida que tem como objetivo calcular a variação total de uma função a partir de sua taxa de variação. Sendo aplicada para calcular distancias, uma área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função. Ela também pode ser calculada sobre uma função a partir de sua derivada, pois cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira.

Para calcular uma integral definida e sua area;

Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a ate b e o numero real representado por.

∫_a^b▒〖f(x)dx=[F(x) ] b¦a〗=F (b)- F (a).

Já as integrais indefinidas, a questão posta pela operação derivada, era: dada uma função f(x), encontrar outra função, digamos F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).

F (X)= F^' (X)

Com a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa forma, posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função F(x), cuja derivada é igual à função dada:

F' (x)= f(x)

Definimos como primitiva esta função F(x) obtida com tal procedimento.

Consideremos f(x)=senx. Desejamos encontrar um outra função F(x), tal que, F´(x)=senx. Esta função procurada é F(x)=-cosx, pois F´(x)=senx.

Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo [a,b], se em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x).

Note que, para f(x)=senx, a função G(x)=-cosx +5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva.

Exemplos de integral indefinida

∫x^3dx  R: ∫x^4/4+ C

b) ∫(4x³+3x²+2x+5)dx  ∫(4x^4)/4+ 〖3x/3〗^3 + (2x^2)/2+5x+c

R: x^4+ x³+x²+5x+c

Exemplos de integral definida

∫_1^2▒2x dx  ∫_1^2 〖2x〗^2/2+ C  (2)² -(1)² = 4 – 1 = 3u²

∫_1^2▒4x² □(24&dx)  ∫_1^2 〖4x〗^3/3+ C  4/3 ∫_1^2▒2^3 -1^3 = 28/3 u²

Passo 2 (Equipe)

Desafio A.

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒( a³/3 + 3/a³ + 3/a ) da?

∫▒( a³/3)+ ∫▒( 3/a³) +∫▒( 3/a) + C  R: f(a)= a^4/12 - 3/2a² + 3ln [a] + C )

R: A alternativa certa da integral indefinida é a B.

Desafio B.

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

R: A alternativa que corresponde a questão correta é alternativa A.

C (q) = 1000 + 50q

1000dq + 50q. dp

1000 + C + 50. q22.dq

1000