Calculo 2

CÁLCULO II – ENGENHARIAS – AULA 2

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita : y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta ( explícita ) em termos da outra.

y = 4x - 5

Por exemplo : s = -25t² - 18t

u = 9w – 35w²

Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo:

● Ache a derivada da função xy = 1.

: Derivada de y em

relação à x.

RESOLUÇÃO: Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciá-la.

● xy = 1 (Forma implícita)

● y = (Escrever a relação y em função de x)

● y = x –1 (Escrever sob nova forma)

● = - x – 2 (Derivar em relação a x)

● = - (Simplificar)

Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.

Para tanto, podemos utilizar um método chamado DERIVAÇÃO (OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Esta derivação é feita em relação à x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, uma vez que y é uma função de x.

Exemplos:

1) 2x + y³

Resolução:

Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar em relação à x, daí:

2) x + 3y

Resolução:

3) xy²

Resolução:

4) 4x² + 9y² = 36

Resolução: