Calculo 2

1. ETAPA 2

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em situações relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos naturais.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos

1.1. PASSO 1

O que é a constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim : em que E(x) é a parte inteira de x.]

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1

℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 ;

Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1

℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 ;

Constante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮ ≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Conforme tabela abaixo:

℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

1 2

5 2, 48832

10 2, 59374246

50 2, 691588029

100 2, 704813829

500 2, 715568521

1000 2, 716923932

5000 2, 71801005

10000 2, 718145927

100000 2, 718268237

1000000 2, 718280469

1.2. PASSO 2

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier.

A série harmônica é uma série infinita, composta de ondas senoidais com todas as frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental.

Tecnicamente, a frequência fundamental é o primeiro harmônico, no entanto, devido a divergências de nomenclatura, alguns textos apresentam a frequência 2F como sendo o primeiro harmônico. Para evitar ambiguidades, consideramos, no âmbito desse artigo, que a fundamental corresponde ao primeiro harmônico. Não existe uma única série harmônica, mas sim uma série diferente para cada frequência fundamental. A Tabela abaixo mostra dois exemplos de série harmônica. Uma se inicia no Lá1(110 Hz) e a outra no Do2(132 Hz). A frequência dá nota Do2 foi arredondada para simplificar a tabela. Em um sistema temperado as frequências das notas seriam ligeiramente diferentes (Ver observações e o texto abaixo). São mostrados os 16 primeiros harmônicos para cada série.

# Lá1 Do2 Observações

Nota Frequência(Hz) Nota Frequência(Hz)

1(F) Lá1 110 Do2 131 Frequência fundamental. Tecnicamente o primeiro harmônico.

2 Lá2 220 Do3 262 Uma oitava acima da fundamental. 2º harmônico

3 Mi3 330 Sol3 393 Uma quinta acima do 2º harmônico.

4 Lá3 440 Do4 524 Duas oitavas acima da fundamental.

5 Do#4 550 Mi4 655 Todos os harmônicos ímpares subsequentes soam desafinados em relação aos equivalentes temperados

6 Mi4 660 Sol4 786 Note que o Sol4 da série de Do é diferente da mesma nota na série de Lá (linha abaixo)

7 Sol4 770 Sib4 917

8 Lá4 880 Do5 1048 Três oitavas acima da fundamental

9 Si4 990 Ré5 1179

10 Do#5 1100 Mi5 1310

11 Ré#5 1210 Fa#5 1441

12 Mi5 1320 Sol5 1572