Calculo 2

FACULDADE ANHANGUERA

RIBEIRÃO PRETO

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

ENGENHARIA ELETRICA

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

CALCULO II

PROFESSOR: MARCOS CUNHA

ALUNOS 2°E

:

CARLOS ALISON BALCO:

LUCAS MARTINS:

NORMANDO:

VICTOR EUFLAUZINO:

ANDERSON PEREIRA :

NATAN :

BRUNO EUMENOV:

ETAPA 2

Constante de Euler

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)

que pode ser condensada assim :

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial e^x para determinados valores de x.

Valor aproximado

As 100 primeiras decimais dessa constante são γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431047267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

Série Harmônica

O fato da série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais (somar um número considerável de partes e observar a tendência). Foi umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco