Calculo 2

Sistema de Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e alguns problemas relacionados a lugares geométricos.

No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.

O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , ), onde r é denominado raio vetor, e o ângulo vetorial de P.

r = distância entre P e a origem

= medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.

O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas representadas por (r, +2k ), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado por (-r, +2k ), sendo K qualquer inteiro ímpar.

Transformações de Coordenadas

Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas.

Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r, ), temos:

i)

Observamos que:

cos = e sen =

ii)

cos = = e sen = =

Portanto,

x = r cos

y = r sen

Usando x = r cos e y = r sen , vem que:

x² = r²cos²

y² = r²sen²

x² + y² = r²

Portanto,

r = .

Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.

Gráficos com coordenadas polares

Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a representação de equação de curvas.

O gráfico de F(r, ) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas polares satisfazem a equação.

A equação é apresentada da seguinte forma:

r = f ( )

Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos:

1) Calcular os pontos máximos e / ou mínimos;

2) Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;

3) Verificar a simetria:

- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem.

- Se a equação não se altera ao substituirmos por – , ou seja, simetria em relação o eixo polar.

- Se a equação não se altera ao substituirmos por , ou seja, existe simetria em relação o eixo .

O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:

- cos = cos(- ), cos = - cos( ) e cos = cos( )

- sen = - sen( ), sen = sen( ) e sen = sen( )

Equações de algumas curvas em coordenadas polares

- Equações de reta

Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma:

= k

Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto sobre a reta.

*Paralelos ao eixo polar:

r sen = a, a>0 r sen = a, a<0

Paralelos ao eixo

r cos = b, b<0 r cos = b, b>0

- Circunferências

i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|;

ii) r = a cos : circunferência com centro na reta = 0, passando pelo pólo e raio ;

iii) r = a sen : circunferência com centro na reta = , passando pelo pólo e raio .

-Limaçons

r = a + b sen ou r = a + b cos , n inteiro positivo, a 0 e b 0

Se |a|<|b| apresentam laço.

Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva.

r = 1+2 sen r = -3-2.2 cos r = -2-2 sen

- Rosáceas

r = asen ou r = acos , n iteiro positivo, a 0. Se n é par,