Calculo 2

ETAPA 2

Passo1

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.

Constante de Euler

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x =

t vale et daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se se escolherem números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

O Número de Euler com as primeiras 200 casas decimais:

e=limn→∞1+1nn | 1 | 2 |

|5 |248832 |

|10 |25937446 |

|50 |2691588029 |

|100 |2704813829 |

|500 |2715568521 |

|1000 |2716923932 |

|5000 |271801005 |

|10000 |2718145927 |

|100000 |2718268237 |

|1000000 |2.718.280.469 |

À medida que o valor de n aumenta o valor resultante é constante e se aproxima do valor do numero de Euler.

Passo 2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos uma página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

A série harmónica alternada é definida conforme: Esta série é convergente como consequência do teste da série

Alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se se definir o n-ésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

1. O único Hn inteiro é H1.

2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann