Calculo 2

2ª Lista de Cálculo II – Profª. Edinalva Sakai

Parte I

1) A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∊ Df, [x f(x) + sen f(x)] = 4. Mostre que f’(x) = (-f(x))/(x +〖 cos〗⁡〖 f(x)〗 )

2) Seja g: ℝ→ ℝ uma função diferenciável e seja f dada por f(x) = x . g(x2). Verifique que f’(x) = g(x2) + 2x2 g’(x2).

3) Calcular a derivada da função inversa das seguintes funções:

a) f(x) = x4 , ⩝x≥0 no ponto y = 8

b) f(x) = 2x3 – 5 no ponto y = -3

c) f(x) = √(x-3) com x ≥ 3

d) f(x) = 1/x com x ≠ 0

e) f(x) = 1/(x-a) com x ≠ a

f) f(x) = (x + 1)/(x - 1 ) com x > 1

4) Determinar a função derivada das seguintes inversas:

a) f(x) = arc sen 3x

b) f(x) = arc cos x3

c) f(x) = arc tg 1/x

d) f(x) = x2 arc sen x

e) f(x) = arc cos x - √x

f) f(x) = x4 arc tg 3x

g) f(x) = ln (arc cos x)

h) f(x) = arc cotg x+ √(1+x^2 )

i) f(x) = √(arc tg(4x+1))

j) f(x) = x . arc sen x2 - е2x

k) f(x) = arc cotg (3x + 5)

l) f(x) = arc sec (4x – 1)

m) f(x) = ( arc cossec 5x2)4

5) Verifique que:

a) d/dx [x arc tg x- 1/2 ln⁡〖(1+x^2)〗 ] = arc tg x

b) d/dx [x^3/3 arc sen x+ (x^2+ 2)/9 √(1-x^2 )] = x2 arc sen x

6) Determine os pontos críticos da função, seu valor máximo e mínimo absoluto e os pontos em que ocorrem:

a) y = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 10 , -1 ≤ x ≤ 2

b) y = x^3 – 3x2 + 3 , -1 ≤ x ≤ 1

c) y = x^4/4 -〖 x〗^3-2x^2+3 -2 ≤ x ≤ 3

d) y = x2 – x + 5, 0 ≤ x ≤ 10

e) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 , -2 ≤ x ≤ 3

f) y = x2 - 3x +2 , 0 ≤ x ≤ 2

7) No estudo do comportamento das funções abaixo, determine, quando possível:

intervalos de crescimento e decrescimento; pontos de máximos e de pontos de mínimos locais; concavidade e pontos de inflexão.

a) f(x) = x3 – 18x

b) f(x) = 3x – 1/3 x3

c) f(x) = x/(x+1)

d) f(x) = e^((-x^2)/2)

e) f(x) = (x^2+ 1)/x

f) f(x) = (x-1)/x^2

g) f(x) = x3 – 3x2 + 3x

h) f(x) = x^2+ 1/x

i) f(x) = x^3/(x^2-1)

j) f(x) = x.e-2x

k) f(x) = (x^2- 1)/x

Gabarito

1) e 2) livre

3) a) g’(y) = 1/(4∜(y^3 )) ; g’(8) = 1024 ∜2 b) g’(y) = 1/(6(∛((y+5)/2))^2 ) ; g’(-3) = 1/6 c) g’(y) = 2y

d) g’(y) = -1/y^2 e) g’(y) = - 1/y^2 f) g’(y) = -2/〖(y-1)〗^2

4) a) y^'=3/√(1-9x^2 ) b) y^'=-(3x^2)/√(1-x^6 ) c) y^'=-1/(x^2+1) d) y^'=2x(arc sen x)+ x^2/√(1- x^2 )

e) y^'= – (1/√(1-x^2 )+ 1/(2√x)) f) y^'= 4x^(3 ) arc tg 3x+ (3x^4)/(1+9x^2 ) g) y^'=- 1/((arc cos x) √(1-x^2 ))

h) y^'= x/√(1+x^2 )-1/(1+x^2 ) i) y^'=4/(arc tgx (4x+1) (32x^2+ 16x+4)) j) y^'= arc sen x2 + (2x^2)/(1+x^4 ) – 2e2x k) y^'= (- 3)/(9x^2+ 15x+26) l) y^' = 4/(| 4x-1 |√(〖16x〗^2 - 8x)) m) y'= - (40x (arc cossec 5 x^2 )^3 )/(〖15x〗^2 √(25x^4-1 ))

5) livre

6) a) valor Máx = 42 e valor mín = -3 b) valor Máx = 3 e valor mín = -1

c) valor Máx = 7 e valor mín = - 21,75 d) valor Máx = 95 e valor mín = 4,75

e) valor Máx = 46 e valor mín = - 6 f) valor Máx = 2 e valor mín = - 2

7)a) x= -√6 pt Máx local; x=√6 pt mín local; x=0 pt inflexão

b) x= √3 pt Máx local; x= - √3 pt mín local; x= 0 pt inflexão

c) não tem pt Máx e de min local, nem pt inflexão, pois -1 não ∈Df

d) x= 0 pt Máx local; x=-1 e x=1 pt inflexão

e) não tem pt Máx e mín local, nem pt inflexão, pois 0 ∈Df

f) x=2 pt Máx local; x= 3 pt inflexão

g) não tem pt Max e min; x= 1 pt inflexão

h) x= 1/∛2 pt mín local; x=1 pt inflexão

i) x=-√3 pt Máx local; x=√3 pt mín local; x=0 pt inflexão

j) x= ½ pt Máx local; x= 1 pt inflexão

k) não tem pt Máx e mín local, nem pt inflexão, pois 0 ∈Df

Bons estudos

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Parte I

1) A função diferenciável y = f(x)