Calculo 2

FACULDADE ANHANGUERA DE JOINVILLE – UNIDADE 2

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MECANICA – 2ª FASE

CALCULO II

JÉSSICA ALEXANDRE – RA 5220979800

PAULO ALVEZ JUNIOR– RA 5217971868

RAFAEL D FELTRIN – RA 5209938997

SILOMAR E. VIEIRA – RA 5212953890

VALDEMIR GAZANIGA – RA 5217971864

ATPS CALCULO II

JACKSON SIEDSCHLAG

Joinville - SC

1º Semestre/2013

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 2

DERIVAÇÃO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 3

Velocidade instantânea 3

Gráficos do espaço x tempo e velocidade x tempo 3

Aceleração instantânea 3

Gráfico da aceleração x tempo 4

DERIVAÇÃO: FUNÇÃO EXPONENCIAL 4

Constante de Euler 4

Séries harmônicas 4

Crescimento populacional 4

Gráfico do crescimento populacional x tempo 5

4. CONCLUSÃO 6

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 7

INTRODUÇÃO

Neste trabalho estudaremos os conceitos derivadas, estaremos aplicando a derivada nas equações do espaço e da velocidade e mostraremos como a matemática está ligada a física, estudaremos também a teoria de Euler-Mascheroni.

DERIVAÇÃO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

2.1. Velocidade Instantânea

Admitindo-se a fórmula da velocidade média vm

v_m=(s-s_0)/(t-t_0 )

Fazendo com que o tempo t fique tão próximo de t0, que o intervalo de tempo ∆t→0 .

Para que a razão (s-s_0)/∆t não seja uma impossível é necessário o uso do limite.

v_m=lim┬(∆t→0)⁡〖(s-s_0)/∆t〗

Desta forma, tem-se a velocidade em um determinado instante, ou seja, a velocidade instantânea v.

v=lim┬(t→0)⁡〖(s-s_0)/t〗

Definir derivada e apresentar a fórmula

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Através da identidade entre as fórmulas, conclui-se que a velocidade instantânea v é a função derivada da função horária dos espaços.

Daí, para o MRUV, tem que:

s=s_0+v_0.t+(a.t^2)/2

s^'=v=v_0+a.t

Como exemplo de aplicação disso, vamos utilizar a soma dos últimos dígitos do RA dos integrantes do grupo para calcular um movimento retilíneo uniformemente variado e obedece a seguinte função horária da posição: s=20-54t+〖12〗^* t^2, com o tempo em segundos e a posição em metros. Determine a função horária da velocidade.

A função horária da velocidade é uma derivação da função horária da posição. Usando técnicas imediatas de derivação, temos:

s = 13 - 63t + 19t²

s = 0.13 - 1.63.t° + 2.19t¹

s = -63 + 38t

2.2. Gráficos do Espaço x Tempo e Velocidade x Tempo

Gráfico do espaço versus tempo:

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5

Posição (m) 13 -31 -37 -5 65 173

S0 = 13 - 63.0 +19.0² S3 = 13 - 63.3 + 19.3²

S0 = 13 - 0 - 0 S3 = 13 - 189 + 171

S0 = 13 m S3 = -5m

S1 = 13 - 63.1 + 19.1² S4 = 13 - 63.4 + 19.4²

S1 = 13 - 63 + 19 S4 = 13 - 252 + 304

S1 = - 31m S4 = 65m

S2 = 13 - 63.2 + 19.2² S5 = 13 - 63.5 + 19.5²

S2 = 13 - 126 +76 S5 = 13 - 315 + 475

S2 = - 37m S5 = 173m

O gráfico é uma parábola com a função de segundo grau, sendo positiva por ter o primeiro valor positivo.

Gráfico da velocidade versus tempo:

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5

Velocidade (m/s) -63 -25 13 51 89 127

V0 = -63 + 38 . 0 V3 = -63 + 38 . 3

V0 = -63 + 0 V3 = -63 + 114

V0 = -63 m/s V3 = 51 m/s

V1 = -63 + 38 . 1 V4 = -63 + 38 . 4

V1 = -63 + 38 V4 = -63 + 152

V1 = - 25m/s V4 = 89 m/s

V2 = -63 + 38 . 2 V5 = -63 + 38 . 5

V2 = -63 + 76 V5 = -63 + 190

V2 = 13 m/s V4 = 127 m/s

O gráfico é uma reta da função do primeiro grau voltada para cima, ou seja, é crescente.

A variação da velocidade no intervalo de 0 a 5 s é:

αm=ΔV/Δt

200=ΔV/5

ΔV=54,05/5

ΔV=10,81m/s

Abaixo segue o valor da área do gráfico:

A=b*h/2

A =5*200/2

A=5*54,05/2

A=135,125 u.a.

V=135,125 / 10,81

V= 12,5m/s.

2.3. Aceleração Instantânea

Admitindo-se a fórmula da aceleração média am

a_m=(v-v_0)/(t-t_0 )

Fazendo com que o tempo t fique tão próximo de t0, que o intervalo de tempo ∆t→0 .

Para que a razão (v-v_0)/∆t não seja uma impossível é necessário o uso do limite.

a_m=lim┬(∆t→0)⁡〖(v-v_0)/∆t〗

Desta forma, tem-se a aceleração em um determinado instante, ou seja, a aceleração instantânea a.

a=lim┬(t→0)⁡〖(v-v_0)/t〗

Definir derivada e apresentar a fórmula

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Através da identidade entre as fórmulas, conclui-se que a aceleração instantânea a é a função derivada da função horária da velocidade.

Daí, para o MRUV, tem que:

s=s_0+v_0.t+(a.t^2)/2

s^'=v=v_0+a.t

s"=v'=a

Conforme o exemplo dado anteriormente segue caçulo:

s=13-63t+19t^2

s^'=-63+38t

s"=38

a=38 m/s^2

2.4. Gráfico da Aceleração x Tempo

A aceleração nesse movimento não depende do tempo, ou seja, é constante. Desta forma os valores da aceleração nesse intervalo de tempo são:

Tempo 0 1 2 3 4 5

Aceleração (m/s2) 38 38 38 38 38 38

E uma função linear.

A=0 (zero)

Aceleração constante.

DERIVAÇÃO: FUNÇÃO EXPONENCIAL

3.1. Constante de Euler

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais.

Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮.

A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos (grafo é representado como um conjunto de pontos vértices ligados por retas). Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

A constante de qual esta sendo estuda é um numero irracional tão importante quanto o . O interessante que os números que compõe esta constante não têm uma repetição lógica. Abaixo esta como é obtida esta constante e através do gráfico 1.1 é possível entender onde seria o ponto desta constante. Indiferente se o resultado for positivo ou negativo, ele tende ao infinito, e vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.. Atenção quando tende a zero a constante tem o mesmo valor, ou seja, não tem o sinal de negativo na frente.

(1.1)

As funções exponenciais desempenham papel fundamental na Matemática e nas ciências como: Física, Química, Engenharia, Economia, Biologia, Astronomia, Psicologia e outras. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Segue tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000},

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^nou substituindo n=1/h , temos e=〖lim〗_(h→0) (1+h)^(1/h)

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/1)^1

e=〖lim〗_n→∞(2/1)^1

e=〖lim〗_n→∞2

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/5)^5

e=〖lim〗_n→∞(6/5)^5

e=〖lim〗_n→∞2,48832

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/10)^10

e=〖lim〗_n→∞(11/10)^10

e=〖lim〗_n→∞2,59374

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/50)^50

e=〖lim〗_n→∞(51/50)^50

e=〖lim〗_n→∞2,69158

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/100)^100

e=〖lim〗_n→∞(101/100)^100

e=〖lim〗_n→∞2,70481

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/500)^500

e=〖lim〗_n→∞(501/500)^500

e=〖lim〗_n→∞2,71556

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/1000)^1000

e=〖lim〗_n→∞(1001/1000)^1000

e=〖lim〗_n→∞2,71692

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/5000)^5000

e=〖lim〗_n→∞(5001/5000)^5000

e=〖lim〗_n→∞2,71801

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/10000)^10000

e=〖lim〗_n→∞(10001/10000)^10000

e=〖lim〗_n→∞2,71814

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/100000)^100000

e=〖lim〗_n→∞(100001/100000)^100000

e=〖lim〗_n→∞2,71826

e=〖lim〗_n→∞(1+1/n)^n

e=〖lim〗_n→∞(1+1/1000000)^1000000

e=〖lim〗_n→∞(1000001/1000000)^1000000

e=〖lim〗_n→∞2,71828

3.2. Séries Harmônicas

Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados por Pitagoras,revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Uma série harmônica alternada é convergente como conseqüência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definirmos no enésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que: 1. O único Hn inteiro é H1. 2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

3.3. Crescimento Populacional

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”, apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população presente em um determinado instante t.

Onde temos:

t =0 no instante inicial

r = uma constante que varia com a espécie da população

= A população existente/presente no instante inicial.

É obvio que o gráfico dessa função depende de r e a utilização desse modelo parte do pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que ocorre.

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Crescimento Populacional

Valores:

t = 8

N0 = 50

N(8) = 150

Nt = N0*ert

N8 = 50*er8

ER8 = 150/50

er8 = 3

lner8 = In3.

Como ln e exp são funções inversas uma da outra segue que:

r8 = In3

l= ln 3/8

l= 0,375

Aplicando no tempo de 48 horas: N48 = 50*e48*0,375

N48 = 50*e18

N48 = 900

3.4. Gráfico do Crescimento Populacional x Tempo

Abaixo segue uma tabela e o um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, observando o que ocorre a cada 4 horas.

Tempo

4

8

12

16

20

Aumento 75 150 225 300 375

4. CONCLUSÃO

Essa pesquisa dedicada especialmente a derivada e a constante de Euler, observamos que nossos conhecimentos aumentaram muito, e isso nos ajudou a esclarecer muitas de nossas duvidas e também aumentamos a nossa segurança para realizarmos a nossa avaliação parcial da matéria. Foi uma experiência muito boa, pois notamos além de como a matemática está ligada a física, assim como tudo no universo tem alguma ligação ou relação com a matemática, ela é a nossa base para seguirmos o nosso curso de engenharia.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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HUGHES-HALLETT/ GLEASON/McCALLUM etal.. Matemática aplicada I- LTC-178

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Sites pesquisados:

https://docs.google.com/file/d/0B9WATR68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy/edit?pli=1: Acesso dia 26-03-2013

www.ebah.com.br/content/ABAAAfXVcAD/atps-final-calculo:acesso dia 29-03-2013

www.fecea.br/download/DERIVADA2006.doc: acesso dia 26-03-2013

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler; Acesso dia 25-mar-2013

pt.wikipedia.org/wiki/Série_harmônica_(música) :acesso dia 29-03-2013