Calculo 2

1. ENGRANAGENS

Engrenagem é uma peça metálica de função mecânica que é envolta por dentes intercalados por toda a sua superfície normalmente circular e que é ligada a um eixo. Sua função é transmitir o movimento que vem do eixo rotativo a uma nova engrenagem ou a uma peça que translada, logo que elas atuam, pelo menos, aos pares, sendo que os dentes de uma encaixam nos vãos formados pelos dentes da outra. As engrenagens operam aos pares, os dentes de uma encaixando nos espaços entre os dentes de outra. Se os dentes de um par de engrenagens se dispõem em círculo, a razão entre as velocidades angulares e os torques do eixo será constante. Se o arranjo dos dentes não for circular, variará a razão de velocidade. A maioria das engrenagens é de forma circular.

Para transmitir movimento uniforme e contínuo, as superfícies de contato da engrenagem devem ser cuidadosamente moldadas, de acordo com um perfil específico. Se a roda menor do par (o pinhão) está no eixo motor, o trem de engrenagem atua de maneira a reduzir a velocidade e aumentar o torque; se a roda maior está no eixo motor, o trem atua como um acelerador da velocidade e redutor do torque.

2.1 TERMINOLOGIAS

 Superfície primitiva: superfície imaginária que rola sobre outra superfície primitiva sem escorregar, sobre a qual é gerada a engrenagem.

 Cilindro primitivo: cilindro imaginário que rola sem escorregar sobre a superfície primitiva da engrenagem conjugada, sobre a qual é gerada a engrenagem cilíndrica.

 Cone primitivo: cone imaginário que rola sem escorregar sobre a superfície primitiva da engrenagem conjugada, sobre o qual é gerada a engrenagem cônica.

 Ponto primitivo: ponto de tangência das duas superfícies primitivas de engrenagens conjugadas.

 Círculo primitivo: forma da seção transversal do cilindro primitivo; curva de intersecção do cilindro primitivo com o plano de rotação.

 Diâmetro primitivo: medida do círculo primitivo.

 Círculo de base: círculo a partir do qual é gerado o perfil de evolvente.

 Diâmetro de base: medida do círculo de base.

 Círculo externo: círculo tangente ao topo do dente.

Como elemento para determinar os parâmetros da engrenagem o passo traz o inconveniente de ser função de π.

Uso do módulo m:

Como elemento para determinar os parâmetros da engrenagem o passo traz o inconveniente de ser função de π. Países de língua inglesa usam o diametral pitch P;

1.2 TIPOS DE ENGRENAGENS

As engrenagens não só apresentam tamanhos variados, mas também se diferenciam em formato e tipo de transmissão de movimento. Dessa forma, podemos classificar as engrenagens empregadas normalmente dentro dos seguintes tipos:

 Cônicas: É empregada quando as árvores se cruzam; o ângulo de intersecção é geralmente 90°, podendo ser menor ou maior. Os dentes das rodas cônicas tem formato também cônico, o que dificulta a sua fabricação, diminui a precisão e requer uma montagem precisa para o funcionamento adequado. A engrenagem cônica é usada para mudar a rotação e a direção da força, em baixas velocidades. Estes dispositivos são usados em aplicações de transporte ferroviário, em aplicações marítimas, como componentes automotivos, em sistemas de controle de bombas e sistemas de armazenamento de líquidos, em usinas de energia, em prensas de impressão e em uma ampla variedade de outros equipamentos e máquinas que exigem a transferência de torque.

 Retas: Os dentes são dispostos paralelamente entre si em relação ao eixo. É o tipo mais comum de engrenagem e o de mais baixo custo. É usada em transmissão que requer mudança de posição das engrenagens em serviço, pois é fácil de engatar. É mais empregada na transmissão de baixa rotação do que na de alta rotação, por causa do ruído que produz. São muito utilizadas em equipamentos como máquina de lavar roupa e relógio de corda, porém este tipo de engrenagem não é utilizado em carros tendo em vista que a cada vez que os dentes se encaixam há uma colisão entre eles. Isto faz com que elas sejam muito barulhentas.

 Hipóides: As engrenagens hipóides são uma variedade de engrenagens que, ao contrário das cônicas, os seus eixos não se cruzam. São empregadas para transmitir movimento e cargas elevadas entre eixos que não se cruzam. Podem ser de diversos tipos de dentados espirais.

 Helicoidais: Os dentes são dispostos transversalmente em forma de hélice em relação ao eixo. É usada em transmissão fixa de rotações elevadas, por ser silenciosa devido a seus dentes estarem em componente axial de força que deve ser compensada por mancal ou rolamento. Serve para transmissão de eixos paralelos entre si e também para eixos que formam um ângulo qualquer entre si (normalmente 60 ou 90°). São desenvolvidas para aplicações rigorosas, como transportadores de minério, máquinas de fabricação de papel, máquinas de extrusão, máquinas de fundição contínua ou guindastes portuários. Elas precisam oferecer alta confiabilidade operacional em condições rigorosas, como ambientes quentes, úmidos e empoeirados, em velocidades muito baixas e cargas pesadas.

 Cremalheira: É uma barra de dentes destinada a engrenagens. Assim pode se transformar um movimento de rotação em movimento retilíneo ou vice-versa. Este sistema é usado: Em ferrovias para vencer terrenos íngremes, no qual o trilho fixado ao solo é dentado e a locomotiva imprime a força rotacional na engrenagem que a ele adere adquirindo assim movimento. Nos sistemas de direção de automóveis e outros veículos rodoviários a engrenagem é fixa (e está ligada ao volante através da coluna de direção) e a cremalheira desliza linearmente - que estando ligada às rodas, altera a direção do veículo. No entanto o engenho requer uma maior força para efetuar uma manobra comparando com outros mecanismos como a recirculação de esferas (ou sector dentado), já que a multiplicação da força que é obtida é menor, embora a direção seja mais estável.

 Parafuso sem fim: Engrenagens sem-fim são usadas quando grandes reduções de transmissão são necessárias. Esse tipo de engrenagem costuma ter reduções de 20:1, chegando até os números maiores do que 300:1. Muitas engrenagens sem-fim têm uma propriedade interessante que nenhuma outra engrenagem tem: o eixo gira a engrenagem facilmente, mas a engrenagem não consegue girar o eixo. Isso se deve ao fato de que o ângulo do eixo é tão pequeno que quando a engrenagem tenta girá-lo, o atrito entre a engrenagem e o eixo não deixa que ele saia do lugar. Essa característica é útil para máquinas como transportadores, nos quais a função de travamento pode agir como um freio para a esteira quando o motor não estiver funcionando. São descritas utilizações desde a Mecânica Newtoniana para estes sistemas. Em qualquer sistema onde se pretende precisão e torque, são utilizadas. Sistema como embreagem, cravelhas de instrumentos de corda, relógio, sistemas de elevadores e indústrias geral.

1.3 LEI DO ENGRENAMENTO E AÇÃO DOS DENTES

A lei fundamental do engrenamento afirma que a razão de velocidade angular de um par de engrenagens deve manter-se constante durante o engrenamento. Segundo FAIRES 1982, para um par de dentes que se engrazam transmitir uma razão de velocidade constante, as curvas dos perfis dos dentes devem ser tais que “as perpendiculares comuns aos perfis no ponto de contato passem sempre pelo ponto principal”. Se o pinhão de comando tem 20 dentes e a engrenagem comandada 40, a razão de velocidade em termos de rotação é 40/20=2. A razão entre raios e velocidades angulares:

Onde:

ω = velocidade angular

r = raio primitivo

A lei do engrenamento não se refere a esta razão total, mas sim a variações por ocasião do engrenamento de um par de dentes. Estas variações momentâneas na razão de velocidade dão lugar a acelerações e desacelerações que se manifestam por vibrações e ruído. As curvas que satisfazem a lei de engrenamento são chamadas curvas conjugadas, das quais se pode obter um número qualquer. A família das cicloides foi usada inicialmente nas engrenagens, porém as vantagens da evolvente são hoje usadas quase que exclusivamente.

 1° Ponto de contato: perfil da base da engrenagem motora toca o perfil da cabeça da engrenagem movida;

 Meio do contato: as engrenagens se cruzam no ponto de tangencia da das circunferências o chamado Ponto primitivo;

 Final do contato: o perfil da cabeça da engrenagem motora toca e se afasta do perfil da base da engrenagem movida. No ponto primitivo vale a regra da razão de transmissão.

A linha de ação é descrita pela trajetória dos pontos de contato durante a transmissão de forca de um par de engrenagens. O ângulo de ação ou de pressão é formado pela linha de ação e a tangente comum às duas circunferências.

1.4 CURVA ENVOLVENTE

Na geometria diferencial de curvas, uma evolvente é uma curva obtida de outra dada curva anexando a esta um cordão tenso imaginário e traçando um ponto da corda ao enrolá-la na curva; ou, ao contrário, ao desenrolá-la. É uma rolete na qual a curva rolante é uma linha reta contendo o ponto gerador. Por exemplo, uma evolvente é aproximadamente o caminho seguido por um espirobol quando a corda de ligação é enrolada no poste. Se o poste tem seção transversal circular, então a curva descrita pela bola é uma evolvente do círculo.

Alternativamente, outra forma de construir a evolvente de uma curva é substituir a corda esticada por um segmento de reta que é tangente à curva em uma extremidade, enquanto a outra extremidade traça a evolvente. O comprimento do segmento de reta é alterado pelo mesmo comprimento de arco que é percorrido sobre a curva quando o ponto tangente move-se ao longo da curva. A evoluta de uma evolvente é a curva original, subtraidas as porções de curvatura zero ou indefinida. Ver as ilustrações evoluta e evolvente.

Se a função é uma parametrização natural da curva (i.e. para todo s), então : parametriza a evolvente.

A evolvente possui algumas propriedades que a tornam fundamental para a indústria de engrenagens: se duas engrenagens engatadas possuem dentes com perfil evolvente, elas formam um sistema de engrenagens evolventes. Suas taxas de rotação relativas são constantes enquanto os dentes estão engrenados, e o contato ocorre sempre ao longo de um segmento de reta, denominado linha de ação. Com dentes de outras formas as velocidades de rotação e as forças transmitidas são intermitentes, ocasionando, portanto vibrações, ruídos e desgaste excessivo. Por esta razão quase a totalidade das engrenagens atualmente produzidas possuem dentes com a forma evolvente. A evolvente de um círculo é também uma forma fundamental em compressores, pois um compressor espiral pode ser construído baseado nesta forma. Compressores espirais fazem menos barulho que compressores convencionais, sendo também mais eficientes.

1.5 CURVA ENVOLVENTE

Fazendo a linha MN girar no sentido anti-horário da circunferência de um círculo sem

deslizar, quando a linha alcança a posição M’N’, a tangente original A alcança a posição K, traçando a curva evolvente AK durante o movimento. A medida que o movimento continua, o ponto A irá traçar a curva evolvente AKC;

Quanto menor for o diâmetro primitivo, mais acentuada será a evolvente. Quanto maior for o diâmetro primitivo, menos acentuada será a evolvente, até que, em uma engrenagem de diâmetro primitivo infinito (cremalheira) a evolvente será uma reta. Neste caso, o perfil do dente será trapezoidal, tendo como inclinação apenas o ângulo de pressão.

Imagine a cremalheira como sendo uma ferramenta de corte que trabalha em plaina

vertical, e que a cada golpe se desloca juntamente com a engrenagem a ser usinada (sempre mantendo a mesma distância do diâmetro primitivo). É por meio desse processo contínuo que é gerada, passo a passo, a evolvente. O ângulo de inclinação do perfil (ângulo de pressão) sempre é indicado nas ferramentas e deve ser o mesmo para o par de engrenagens que trabalham juntas.

1.6 PROPRIEDADES DA CURVA EVOLVENTE

A distância BK é igual ao arco AB, pois a linha MN rola sobre o círculo sem

escorregar. Para qualquer instante, o centro instantâneo do movimento da linha é o ponto tangente com o círculo. NOTE: não foi definido o termo centro instantâneo

anteriormente.

O centro instantâneo é definido de duas formas:

 Quando dois corpos possuem um movimento relativo plano, o centro instantâneo é um ponto sobre um dos corpos em que o outro gira no instante considerado;

 Quando dois corpos possuem movimento relativo plano, o centro instantâneo é o ponto em que os corpos estão relativamente parados no instante considerado.

A normal em qualquer ponto de uma evolvente é a tangente à circunferência base, devido a propriedade (2) da curva evolvente, o movimento do ponto que está traçando a evolvente é perpendicular a linha em qualquer instante, e assim a curva traçada também será perpendicular à linha em qualquer instante. Não há curva evolvente junto ao círculo base.