Calculo 2

ETAPA Nº 02

Passo 01: Função Exponencial

Algumas equações apresentam a incógnita como expoente; neste caso são denominadas equações exponenciais.

Dizemos que P é uma função exponencial de t com base a se:

P = P0 . at

Onde P0 é a quantidade inicial (quando t = 0) e a é o fator segundo o qual P muda quando t aumenta de 1. Se a > 1, temos crescimento exponencial; se 0 < a < 1, temos decaimento exponencial.

A resolução das equações exponenciais requer os conhecimentos das propriedades das potências.

Passo 02:

Situação - problema 2: Se a temperatura do planeta continuar subindo no ritmo atual e os países não tomarem medidas com a mesma velocidade para auxiliar o problema do aquecimento global, poderão ocorrer várias epidemias por microorganismos. Os modelos matemáticos têm mostrado como as alterações climáticas podem aumentar a distribuição de doenças transmitidas por microorganismos. O número da população de microorganismos pode ser representado matematicamente por uma equação exponencial. Considere a seguinte situação fictícia: em uma cultura de microorganismos, existem inicialmente 2.000 microorganismos presentes e estimativas mostram que, aumentando em 1ºC a temperatura em relação a temperatura anterior, o número de microorganismos passa a ser três vezes maior.

Para o problema, temos a seguinte função exponencial:

P = P0 . at, então M = M0 .at, onde M0 = 2.000 que é a quantidade inicial, a = 3 pois a quantidade inicial é três vezes maior quando aumenta a temperatura em 1ºC em relação a anterior e t é a temperatura.

M = 2000. 3t

Considerando as seguintes temperaturas 1ºC, 2ºC, 3ºC, 4ºC, teremos:

M = 2000 . 31 = 6000 microorganismos

M = 2000 . 32 = 18000 microorganismos

M = 2000 . 33 = 54000 microorganismos

M = 2000 . 34 = 162000 microorganismos

Passo 03:

Meia Vida: É o tempo necessário para a quantidade ser reduzida a metade da quantidade inicial.

Por exemplo: Se temos hoje(2011) uma amostra com massa de 1000g, e seu tempo de meia vida é 20 anos, então em 2031 terá sua massa igual a 500g, em 2051 terá 250g e assim sucessivamente.

Tempo de Duplicação: É o tempo necessário para a quantidade inicial ser duplicada, ou seja, o dobro da quantidade inicial.

Por exemplo:

Meia - Vida:

R: A meia-vida é a quantidade de tempo característica de um decaimento exponencial. Se a quantidade que decai possui um valor no início do processo, na meia-vida a quantidade terá metade deste valor.

Exemplo:

Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu período de meia vida de 80 anos, terá sua massa igual a 50 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 25 kg e assim por diante.

Tempo de Duplicação:

R: O Tempo de Duplicação é a quantidade de tempo de um aumento exponencial. Se a quantidade que aumenta possui um valor no inicio do processo, no Tempo de Duplicação a quantidade terá o dobro deste valor.

Exemplo:

Se tomarmos hoje (2010) um elemento A de massa 100 kg, sendo seu Tempo de Duplicação de 80 anos, terá sua massa igual a 200 kg no ano de 2090! Ou seja, daqui a oitenta anos. No ano de 2170 sua massa será de 400 kg e assim por diante.

ETAPA Nº 3

Passo 01:

Logaritmos são utilizados com frequência, quando temos de resolver problemas com expoentes desconhecidos, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 1

Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$ 2,00 que dobraria a cada dia de atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais?

Solução:

A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja:

1 dia de atraso

2 dias de atraso

3 dias de atraso

x = 1 => multa = 21 = 2

x = 2 => multa = 2² = 4

x = 3 => multa = 2³ = 8

E assim por diante.

Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica. Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação:

2x= 1 000 000

Para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log 2x = log 1 000 000

log 2x = log 106

Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência:

x · log 2 = 6 · log 10

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 (veja a tabela), temos:

x · 0,301 = 6

x = 60,301 = 19, 93

Assim, concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

EXEMPLO 2

Se log x = 1,6395, determine x.

Solução:

Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a característica e a mantissa. A característica é o número que está antes da vírgula e a mantissa