Calculo 2

 Passo 1

Considere o seguinte exemplo: suponha que você veja um radar a 100 m de distância quando dirigia seu carro a 100 km/h. Para não ser multado, você precisa passar pelo radar a menos de 50 km/h. Então, imediatamente você pisa nos freios (medida em metros) e encontra o radar 5,74 segundos depois (na posição zero), como pode ser visto na figura 1.3:

- Qual a velocidade do carro no instante t= 5,74 s?

Para calcular a velocidade neste instante, vamos diminuir o intervalo de tempo até que ele seja tão pequeno, que o intervalo se reduz há esse instante.

Vamos começar com o intervalo entre 0 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Figura 1.3: As posições de um carro que se aproxima de um radar em função do tempo

Vamos agora diminuir para o intervalo de tempo entre os instantes 4,74 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,73 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,739 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Só para ser chato, vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,7399 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Você está vendo? Quando estamos no limite em que o intervalo é zero, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu carro passa pelo radar. Podemos expressar matematicamente esta última frase da seguinte forma:

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.

Logo, a velocidade instantânea num dado instante t0 é expressa por:

(1.3.1)

(A expressão é a derivada da função posição, denotada por x(t), com relação ao tempo, que denotamos por t.)

A velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias (em intervalos de tempo cada vez menores) e a unidade da velocidade instantânea será a mesma da velocidade média: uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo. Assim, a velocidade instantânea também pode ser dada em metros por segundo, por exemplo, como a velocidade média.

Pela Eq. (1.3.1), se soubermos x(t), que nos fornece a posição como função do tempo pode determinar a função velocidade v(t) em qualquer instante do Domínio desta função. Aliás, x(t) também é chamada de “lei horária do movimento”.

Agora você poderia nos perguntar:

- Se você conhece a velocidade de uma partícula em todos os instantes do movimento e a posição que ela ocupa num instante em particular, é possível descobrir qual é o movimento realizado pela partícula?

- A resposta é sim! Se conhecermos a função velocidade e sua posição num dado instante, podemos encontrar a função posição, que nesse caso é obtida por meio do conceito matemático de integral.

Assim, dada à posição x0 de uma partícula no instante t0 e a sua função velocidade v(t), a função posição é dada por.

(1.3.2)

(A expressão é a integral, do instante t0 ao instante t, da função.

velocidade, denotada por v(t), e t’ é a variável de integração.)

Velocidade instantânea como sabe existem muitas maneiras de descrever quão rapidamente algo se move: Velocidade média e velocidade escalar média, ambas medidas sobre um intervalo de tempo Δt. Entretanto, a expressão “quão rapidamente” mais comumente se refere a quão rapidamente um partícula está se movendo em um dado instante – sua velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

v=lim∆t→0∆x∆t= dx.dt

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

A velocidade instantânea é, portanto definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Na Física temos: S = So + Vo.t + a.t²/2

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea = Limite, quando h tende a zero, de s.a+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

Velocidade instantânea em t=a= limh→0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em cálculo seguem a mesma lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por dx (t) dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou