Calculo 2

Etapa 1

Passo 1

Conceito de velocidade instantânea

A velocidade instantânea é, portanto definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Para isso a variação do tempo tem que ser zero , o que só pode ser calculado atravez de limite , tendendo a variação de tempo a zero , você cai numa derivada de primeira ordem;

Exemplo:

Sendo s(t)=t2+5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo [2,2+Dt], com Dt >0 ou Dt 220 m²

Gráfico da área da função da velocidade:

Passo 3

Velocidade e Aceleração

Aceleração de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Definimos a aceleração como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se v(t) é a velocidade de um objeto em um instante t, temos:

Aceleração média = v(t+h) – v(t)

h

Aceleração instantânea = v’(t) = lim v(t+h) – v(t) .

h→0 h

Resumindo,

como a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada segunda da posição. Se y = s(t) é a posição de um objeto em um instante t, então:

Velocidade: v(t) = dy = s’(t)

dt

Aceleração: a(t) = d’y = s”(t) = v’(t)

d’t

Exemplo (utilizando o exemplo do caso acima):

f(x) = 8 x2 + 4x - 10

lim f (x+h) - f (x)

h→0 h

lim 8 (x+h)2 + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8 (x2+2xh+h2) + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8x2 + 16xh + 8h2 + 4x - 10 - 8x² - 4x +10

h→0 h

lim 16xh + 8h²

h→0 h

lim h (16x + 8h)

h→0 h

lim 16x + 8h

h→0

lim 16x

h→0

Para o intervalo de 0 a 5s:

f(x) = 16x

f(0) = 16 . (0) = 0

f(1) = 16 . (1) = 16

f(2) = 16 . (2) = 32

f(3) = 16 . (3) = 48

f(4) = 16 . (4) = 64

f(5) = 16 . (5) = 80

Passo 4

Grafico da função a(m/s²) x t(s)

Etapa 2

Passo 1

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação

série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de

Valor aproximado

As 100 primeiras decimais dessa constante são

γ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito,

Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos

Tabela dos cálculos

n=¬¬¬ 1

h

n=1 → 1=1 → 1h=1 → h=1 → h=1

h 1

e = lim (1+h)1/h → (1+1)1 → 2

h→0

n=5 → 5=1 → 5h=1 → h=1 →h=0,2

h 5