Calculo 3

Aula-tema: Cálculo de Área.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área, usando a teoria de integrais para tanto.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1

Figura 2

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

R:

Figura 1

S1 = 0,21x = lnx 02 → ln2-ln0 = 0,6931 u a

Figura 2

S24 = 0,44x = 4.lnx 04→4.ln4-4.ln0 = 5,5452 u a

S2 = 4.5,5452 = 22,1808 u a

R: A resposta correta é a letra ( C ) , sendo I é verdadeira, e II é falsa.

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

R: A resposta correta é a letra C.

Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4

Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo do volume de um sólido de revolução, usando a teoria de integrais para tanto.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do

volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração no cálculo de volume.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Considerem os seguintes desafios:

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por y = 4 √x de 1/4 ≤ é: 2л/3 . (128√2-17√17) u.a. Está correta essa afirmação

y = x^ ½ y¹ = ½ X^-1/2 = 1

2√x

A = 2л∫_1^4▒█(@√x*√1+1/4x dx@)

A= 2л ∫_1^4▒█(@@√x*█(@█(@√((4x+1) )))/4x@@) dx

A= 2л ∫_1^4▒█(√x*√((4x+1) )/(2√x) dx@)

A= л∫_1^4▒〖√4x+1 dx〗

U = 4x+1

Du= 4dx dx = du/4

∫▒〖√4x+1 dx= ∫▒█(√u du/4@)〗= 1/4 ∫▒█(u^(1/2)@) du=1/4* u^3/2

3/2

4

= 1/6√(4x+1)

1

A= л/6 (√17- √5) u a

R: Não está correta está afirmação.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , y=(senx)3 de x=a até x= л/2?

3,26 u.v b) 4,67 u.v c) 5,32 u.v d) 6,51u.v e) 6,98 u.v

∫_0^(л/2)▒〖sen^6 x dx=(-1/6 sen^5 x cos x-5/25 sen^3 x cos⁡〖x-15/48〗 〗 senx cosx + 15/48x

= [-1/6 sen^5 (л/2) cos⁡(л/2)-5/24 sen^3 (л/2)-15/48 sen(л/2) cos⁡(л/2)+15/48*л/2]-[0]

=15л/96

V = л[л/4-4+8/3-15л/96]=((24л-384+256-15л))/96

V= л[9л-18]/96 = л(9л/96-128/96)= л(█(3л/32-4/3@))

V = [(3л^2)/32-4л/3] = 3,26 u.v

R: Portanto a resposta correta e a letra (A)

Passo 3 (Equipe)

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.

Associem o número 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

VOLUME DE UM SÓLIDO EM REVOLUÇÃO

Este trabalho será apresentado ao Instituto Superior Tupy, na Disciplina de Cálculo II, ministrada pelo Professore Péricles Barboza Moraes, no curso de Bacharelado em Engenharia Química, Turma EGQ321, como requisito para 1ª Parcial.

Joinville

2012/2

1 INTRODUÇÃO

Com orientação do professor Péricles Barboza Moraes, professor da disciplina de “Cálculo II” no curso de Bacharelado em Engenharia Química, do Instituto Superior Tupy, neste trabalho busca-se determinar o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região delimitada pela função f(x) no intervalo [a,b] em torno do eixo das abscissas , ou seja, em torno do eixo formado pela constante y = 0, tendo como objetivo educacional revisar e exercitar conteúdos já estudados no curso, soma de Riemann e integração, desenvolvendo habilidades de calcular e representar graficamente através de softwares, neste caso foi usado o Microsoft Office Excel ®.

A escolha de um objeto onde sua superfície obedecesse a uma curva de no mínimo, 3º grau é critério para o desenvolvimento do trabalho, assim como a obtenção do volume aproximado por soma de Riemann com 10, 50 e 100 partições e o volume exato através de integração, no caso deste trabalho, foi escolhido o programa Maple ®, para a realização do cálculo integral.

Nas páginas seguintes, o desenvolvimento teórico, prático e conclusivo, abordaram tópicos como o histórico e a breve descrição do método, e suas aplicações. Por fim, as informações contidas nestes itens proporcionarão ao leitor um entendimento para a resolução de problemas, aplicando os métodos soma de Riemann, e integração, nos programas Excel ® e Maple ® respectivamente.

2 REFERENCIAL TEÓRICO

Neste capítulo são apresentadas informações gerais sobre soma de Riemann e integração, desde o histórico até o conceito. O objetivo deste item é introduzir alguns conceitos sobre estes assuntos, permitindo ao leitor um razoável grau de entendimento.

2.1 HISTÓRICO

A partir do século XVII, com o advento da Geometria Analítica surgiram muitos problemas aplicados envolvendo curvas; entre eles estavam o problema de encontrar a reta tangente a uma curva dada, e o problema da quadratura.

O problema da quadratura do círculo, por sua vez, é um dos três problemas clássicos da geometria grega e consiste na obtenção de uma sequência finita de construções geométricas usando régua não graduada e compasso que possibilite, a partir de um círculo, obter um quadrado de mesma área. No século XVII aos olhos da Geometria Analítica, tal problema, recebeu estimada atenção de Descartes e de outros matemáticos da época, entre eles Newton e Leibniz, que são reconhecidos atualmente como os inventores do cálculo o problema da quadratura assumiu um caráter mais geral: a busca pela obtenção de medidas de áreas estabelecidas entre curvas.

Atualmente, este problema está diretamente relacionado ao conceito de Integral que, por sua vez, relaciona-se com o conceito de Derivadas através do Teorema Fundamental do Cálculo segundo Pedro André Pires Machado¹.

___________________________________________________

1 Mestre em Matemática Pura pela Universidade Federal de Santa Maria, Bacharel e Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria. Docente do CMSM.

2.2 SOMA DE RIEMANN E INTEGRAÇÃO

Define-se como soma de Riemann, ou somas finitas, a aproximação da área de uma região com contorno curvo somando as áreas de um conjunto de retângulos. Sendo assim, quanto maior a quantidade de retângulos maior será a precisão da sua aproximação. (THOMAS, 2009)

Segundo a Universidade Federal Fluminense (2012), seja f(x) uma função tal que f é contínua no intervalo fechado [a,b] e f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b]. Seja R a região limitada pela curva y = f(x), as retas x = a e x = b e o eixo x. Deseja-se calcular a área da região R, conforme Figura 1, a seguir.

Figura 1 – Função com região R de área a ser calculada.

Fonte: Universidade Federal Fluminense, 2012.

Para isto, faz-se uma partição do intervalo [a,b] em n subintervalo escolhendo n – 1 pontos entre a e b: a = x0 < x1 < x2 <•••< xn–1 < x n = b. Ver Figura 2.

Figura 2 – Partição de intervalo do eixo x.

Fonte: Universidade Federal Fluminense, 2012.

Em cada subintervalo 0 [xk – 1, xk], k = 1, 2, 3, ..., n escolhe-se um ponto tk. Para cada k = 1, 2,..., n, seja Δkx = xk–xk–1, o comprimento do subintervalo [xk – 1, xk] e seja Rk o retângulo com altura f(tk) e largura Δkx, conforme exemplificado na Figura 3.

Figura 3 – Subintervalo do eixo x.

Fonte: Universidade Federal Fluminense (2012).

Encontra-se um valor aproximado para a área que se deseja calcular somando as áreas dos retângulos Rk, como equação da Figura 4.

Figura 4 – Equação de área aproximada dos subintervalos.

Fonte: Universidade Federal Fluminense (2012).

Na Figura 5, exemplifica-se gráfico de função com 7 partições.

Figura 5 – Gráfico de função com 7 partições.

Fonte: Universidade Federal Fluminense (2012).

Seja ||Δ|| o comprimento do maior subintervalo, isto é, ||Δ|| = Max {Δkx, 1 ≤ k ≤ n}. Quanto mais próximo ||Δ|| estiver de 0, mais próxima estará à soma das áreas dos retângulos da área da região R. Logo, tem-se a equação da Figura 6.

Figura 6 – Equação da área mais próxima da região R.

Fonte: Universidade Federal Fluminense (2012).

Conforme o Instituto Superior Tupy (2011), percebe-se que quanto maior o número de retângulos que for utilizado, mais próximo à soma da área deles será da área real sob o gráfico. A esse tipo de somatório dá-se um nome e uma notação especial, conforme Figura 9.

Figura 7 – Equação da integral.

Fonte: Instituto Superior Tupy (2011).

Define-se o sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano desse eixo como sólido de revolução. Sendo necessário para determinar o volume de um sólido observar que a área da seção transversal A(x) é um disco de raio R(x), a distância entre a fronteira bidimensional e o eixo de revolução. A área é, portanto A(x) = π(raio)2 = π[R(x)]2. Assim graças à definição de volume, tem-se a equação da Figura 8.

Figura 8 – Equação do volume de um sólido de revolução.

Fonte: George B. Thomas (2009).

Uma seção transversal é um disco circular de raio R(x), com isso esse método para calcular o volume de um sólido de revolução geralmente é denominado método do disco. (THOMAS, 2009)

3 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

3.1 MATERIAL UTILIZADO

Para o experimento foi utilizado uma cuia oca feita de material orgânico por dentro e por fora revestida de alumínio. Foi retirada a foto do objeto, com isso atribui-se valores no Microsoft Office Excel ® obtendo-se o polinômio relativo à equação do perfil curvo da peça. Para a medida do raio, foi utilizado um paquímetro. Na Figura 9, é apresentada a figura do objeto e os pontos obtidos.

Figura 9 – Objeto escolhido com pontos obtidos – cuia metálica.

Fonte: Dos autores (2012).

3.2 MÉTODO PARA ENCONTRAR A EQUAÇÃO

Para encontrar a equação do perfil curvo da cuia, foi utilizado o Software Microsoft Office Excel ®.

Para que isso fosse possível, seguiram-se os passos descritos na sequência. Primeiramente, foram obtidos pontos seguindo a curva do objeto através do aferimento com um paquímetro a cada meio centímetro, em um intervalo igual a [0,10], portando obteve-se 21 pontos. Elaborou-se tabela com os 21 pontos obtidos, como mostra a figura 9, e criou-se o gráfico. Para criar o gráfico aplica-se os seguintes passos, seleciona-se a tabela, clica-se no menu “Inserir”, na barra de ferramentas, e em gráficos, seleciona-se “Dispersão”, “Dispersão somente com marcadores”, obtendo-se o gráfico.

Para que a barra de dados inferior fique entre 0 e 10, dá-se dois cliques sobre a barra de dados inferior, na janela que é aberta em seguida, em “Opções de Eixo” na parte “Máximo”, seleciona-se a opção “Fixo” e digita-se o valor 10,0. Selecione fechar, concluindo a tarefa.

Para exibir a curva de tendência e o polinômio equivalente à curva, basta selecionar um dos pontos, automaticamente o programa seleciona todos os pontos, então se clica com o botão direito do mouse em um dos pontos e seleciona “Adicionar linha de tendência”, com isso abrirá uma janela. Nessa janela você seleciona a opção “Polinomial” e ordem 4, e também seleciona a opção “Exibir Função no gráfico” e então é só fechar. Fazendo isso o programa mostra a função da curva do objeto, como a figura abaixo exemplifica.

Figura 10 – Obter a função polinomial.

Fonte: Dos autores (2012).

3.3 VOLUME POR SOMA DE RIEMANN

Depois de encontrada a função da curva do objeto, foi encontrado o Volume aproximado por Soma de Riemann. Para isso foi seguido à fórmula presente na figura abaixo.

V≅πinfxi².∆x

Figura 11 – Fórmula do volume aproximado por Soma de Riemann.

Fonte: Dos autores (2012).

Onde f(x) é a função obtida anteriormente, “n” é o número de repartições, “i” é o valor de cada repartição e ∆x e definido pela figura abaixo.

∆x=b-an

Figura 12 – Fórmula de ∆x.

Fonte: Dos autores (2012).

Foi aplicado o conceito da Figura 11 no software Microsoft Office Excel ®, seguindo os seguintes passos.

Primeiramente divide-se o intervalo [a,b] pelo “n”, assim criando o valor de cada repartição, por exemplo, se o intervalo for [0,15] e n=10, cada repartição terá valor de 1,5, então se somará esses valores, começando do 0 até chegar em 15, por exemplo, 0 ; 1,5 ; 3 ; ... ; 15, e cada valor é digitado no Excel ®, assim formando uma coluna, denominada “x”.

Após isso, na coluna lateral direita, é utilizada a equação encontrada anteriormente, e o “x” substitui-se pelo valor do “x” presente na célula da esquerda, e pressiona-se “Enter”, assim o programa calcula automaticamente o valor de “y”. Faz-se o mesmo processo para todos os valores de “x”, esta coluna é denominada “y”.

Então na coluna lateral direita à coluna “y”, faz-se a seguinte operação. Começa-se digitando o sinal de “=” na célula e então se seleciona a célula lateral pertencente à coluna “y” e eleva-se ao quadrado. Faz-se isso com todos os valores de “y”, assim criando a coluna denominada “y^2”.

Para calcular a soma, utiliza-se a função “soma” do Excel®, que consiste em somar a quantidade de células selecionadas pelo autor.

Foram calculadas duas somas diferentes neste trabalho, uma pela esquerda e outra pela direita. Segue a explicação como foi feita cada uma delas, respectivamente.

No caso da soma pela esquerda, o autor irá selecionar a célula onde se quer que a soma apareça e digita-se a função “soma”, então se seleciona a coluna “y^2” deixando apenas o ultimo valor de fora da seleção. Assim encontra-se a soma pela esquerda.

Na soma pela direita faz-se o mesmo processo da soma pela esquerda, mas ao invés de deixar de fora o ultimo valor da coluna, deixando de fora apenas o primeiro valor da coluna da seleção.

Depois de encontrada as somas serão calculadas o volume aproximado, tanto pela direita, quanto pela esquerda. Para isso seleciona-se a célula onde irá aparecer o resultado e digita-se o seguinte: =PI()*S1*∆x, onde PI() é igual a π e S1 é igual o valor da soma pela direita ou pela esquerda encontrado.

Portanto, depois de feito todos esses passos, são encontrados o volume aproximado por soma de Riemann pela esquerda e pela direita.

3.3.1 Volume com 10 Partições

Feito os passos descritos anteriormente com n=10, intervalo de [0,10], assim ∆x=1, a tabela encontrada é a abaixo.

X | y | y^2 |

0 | 3.9803 | 15.843 |

1 | 3.2128 | 10.322 |

2 | 3.0945 | 9.5759 |

3 | 3.2912 | 10.832 |

4 | 3.5479 | 12.588 |

5 | 3.6888 | 13.607 |

6 | 3.6173 | 13.085 |

7 | 3.316 | 10.996 |

8 | 2.8467 | 8.1037 |

9 | 2.3504 | 5.5244 |

10 | 2.0473 | 4.1914 |

Tabela 1 – Tabela n=10.

Fonte: Dos autores (2012).

Utilizando os valores da tabela acima se encontraram os valores das somas e dos volumes aproximados, pela esquerda e pela direita, respectivamente, descritos nas tabelas abaixo.

Soma pela Esquerda | 110.47644 |

Volume aproximado | 347.07196 |

Tabela 2 – Soma e volume aproximado pela esquerda.

Fonte: Dos autores (2012).

Soma pela direita | 98.82509 |

Volume aproximado | 310.4682 |

Tabela 3 – Soma e volume aproximado pela direita.

Fonte: Dos autores (2012).

3.3.2 Volume com 50 Partições

Feito os passos descritos anteriormente com n=50, intervalo de [0,10], assim ∆x=0,2, a tabela encontrada é a abaixo.

x | y | y^2 |

0 | 3.9803 | 15.843 |

0.2 | 3.7562 | 14.109 |

0.4 | 3.5707 | 12.75 |

0.6 | 3.4205 | 11.7 |

0.8 | 3.3023 | 10.905 |

1 | 3.2128 | 10.322 |

1.2 | 3.149 | 9.9164 |

1.4 | 3.1081 | 9.6601 |

1.6 | 3.0871 | 9.5301 |

1.8 | 3.0834 | 9.5074 |

2 | 3.0945 | 9.5759 |

2.2 | 3.1179 | 9.7216 |

2.4 | 3.1514 | 9.9315 |

2.6 | 3.1928 | 10.194 |

2.8 | 3.24 | 10.498 |

3 | 3.2912 | 10.832 |

3.2 | 3.3445 | 11.186 |

3.4 | 3.3983 | 11.548 |

3.6 | 3.451 | 11.91 |

3.8 | 3.5013 | 12.259 |

4 | 3.5479 | 12.588 |

4.2 | 3.5896 | 12.885 |

4.4 | 3.6253 | 13.143 |

4.6 | 3.6543 | 13.354 |

4.8 | 3.6757 | 13.51 |

5 | 3.6888 | 13.607 |

5.2 | 3.6932 | 13.64 |

5.4 | 3.6884 | 13.605 |

5.6 | 3.6743 | 13.5 |

5.8 | 3.6506 | 13.327 |

6 | 3.6173 | 13.085 |

6.2 | 3.5746 | 12.778 |

6.4 | 3.5227 | 12.409 |

6.6 | 3.4619 | 11.985 |

6.8 | 3.3928 | 11.511 |

7 | 3.316 | 10.996 |

7.2 | 3.2322 | 10.447 |

7.4 | 3.1423 | 9.8742 |

7.6 | 3.0473 | 9.2862 |

7.8 | 2.9484 | 8.6929 |

8 | 2.8467 | 8.1037 |

8.2 | 2.7437 | 7.5279 |

8.4 | 2.6409 | 6.9742 |

8.6 | 2.5398 | 6.4508 |

8.8 | 2.4424 | 5.9653 |

9 | 2.3504 | 5.5244 |

9.2 | 2.2659 | 5.1342 |

9.4 | 2.191 | 4.8004 |

9.6 | 2.128 | 4.5282 |

9.8 | 2.0792 | 4.3232 |

10 | 2.0473 | 4.1914 |

Tabela 4 – Tabela n=50.

Fonte: Dos autores (2012).

Utilizando os valores da tabela acima se encontraram os valores das somas e dos volumes aproximados, pela esquerda e pela direita, respectivamente, descritos nas tabelas abaixo.

Soma pela Esquerda | 525.45 |

Volume aproximado | 330.15 |

Tabela 5 – Soma e volume aproximado pela esquerda.

Fonte: Dos autores (2012).

Soma pela direita | 513.8 |

Volume aproximado | 322.83 |

Tabela 6 – Soma e volume aproximado pela direita.

Fonte: Dos autores (2012).

3.3.3 Volume com 100 Partições

Feito os passos descritos anteriormente com n=100, intervalo de [0,10], assim ∆x=0,1, a tabela encontrada é a abaixo.

X | y | y^2 |

0 | 3.9803 | 15.843 |

0.1 | 3.8632 | 14.924 |

0.2 | 3.7562 | 14.109 |

0.3 | 3.6588 | 13.387 |

0.4 | 3.5707 | 12.75 |

0.5 | 3.4914 | 12.19 |

0.6 | 3.4205 | 11.7 |

0.7 | 3.3576 | 11.274 |

0.8 | 3.3023 | 10.905 |

0.9 | 3.2541 | 10.589 |

1 | 3.2128 | 10.322 |

1.1 | 3.1779 | 10.099 |

1.2 | 3.149 | 9.9164 |

1.3 | 3.1259 | 9.7711 |

1.4 | 3.1081 | 9.6601 |

1.5 | 3.0952 | 9.5805 |

1.6 | 3.0871 | 9.5301 |

1.7 | 3.0832 | 9.5064 |

1.8 | 3.0834 | 9.5074 |

1.9 | 3.0873 | 9.5312 |

2 | 3.0945 | 9.5759 |

2.1 | 3.1048 | 9.6399 |

2.2 | 3.1179 | 9.7216 |

2.3 | 3.1336 | 9.8193 |

2.4 | 3.1514 | 9.9315 |

2.5 | 3.1713 | 10.057 |

2.6 | 3.1928 | 10.194 |

2.7 | 3.2158 | 10.341 |

2.8 | 3.24 | 10.498 |

2.9 | 3.2652 | 10.662 |

3 | 3.2912 | 10.832 |

3.1 | 3.3177 | 11.007 |

3.2 | 3.3445 | 11.186 |

3.3 | 3.3714 | 11.367 |

3.4 | 3.3983 | 11.548 |

3.5 | 3.4249 | 11.73 |

3.6 | 3.451 | 11.91 |

3.7 | 3.4766 | 12.087 |

3.8 | 3.5013 | 12.259 |

3.9 | 3.5252 | 12.427 |

4 | 3.5479 | 12.588 |

4.1 | 3.5694 | 12.741 |

4.2 | 3.5896 | 12.885 |

4.3 | 3.6083 | 13.02 |

4.4 | 3.6253 | 13.143 |

4.5 | 3.6407 | 13.255 |

4.6 | 3.6543 | 13.354 |

4.7 | 3.666 | 13.439 |

4.8 | 3.6757 | 13.51 |

4.9 | 3.6833 | 13.567 |

5 | 3.6888 | 13.607 |

5.1 | 3.6921 | 13.632 |

5.2 | 3.6932 | 13.64 |

5.3 | 3.692 | 13.631 |

5.4 | 3.6884 | 13.605 |

5.5 | 3.6825 | 13.561 |

5.6 | 3.6743 | 13.5 |

5.7 | 3.6636 | 13.422 |

5.8 | 3.6506 | 13.327 |

5.9 | 3.6351 | 13.214 |

6 | 3.6173 | 13.085 |

6.1 | 3.5971 | 12.939 |

6.2 | 3.5746 | 12.778 |

6.3 | 3.5498 | 12.601 |

6.4 | 3.5227 | 12.409 |

6.5 | 3.4934 | 12.204 |

6.6 | 3.4619 | 11.985 |

6.7 | 3.4284 | 11.754 |

6.8 | 3.3928 | 11.511 |

6.9 | 3.3553 | 11.258 |

7 | 3.316 | 10.996 |

7.1 | 3.2749 | 10.725 |

7.2 | 3.2322 | 10.447 |

7.3 | 3.188 | 10.163 |

7.4 | 3.1423 | 9.8742 |

7.5 | 3.0954 | 9.5815 |

7.6 | 3.0473 | 9.2862 |

7.7 | 2.9983 | 8.9896 |

7.8 | 2.9484 | 8.6929 |

7.9 | 2.8978 | 8.3972 |

8 | 2.8467 | 8.1037 |

8.1 | 2.7953 | 7.8135 |

8.2 | 2.7437 | 7.5279 |

8.3 | 2.6922 | 7.2477 |

8.4 | 2.6409 | 6.9742 |

8.5 | 2.59 | 6.7082 |

8.6 | 2.5398 | 6.4508 |

8.7 | 2.4906 | 6.2029 |

8.8 | 2.4424 | 5.9653 |

8.9 | 2.3956 | 5.7389 |

9 | 2.3504 | 5.5244 |

9.1 | 2.3071 | 5.3226 |

9.2 | 2.2659 | 5.1342 |

9.3 | 2.2271 | 4.9599 |

9.4 | 2.191 | 4.8004 |

9.5 | 2.1578 | 4.6563 |

9.6 | 2.128 | 4.5282 |

9.7 | 2.1017 | 4.417 |

9.8 | 2.0792 | 4.3232 |

9.9 | 2.061 | 4.2477 |

10 | 2.0473 | 4.1914 |

Tabela 7 – Tabela n=100.

Fonte: Dos autores (2012).

Utilizando os valores da tabela acima se encontraram os valores das somas e dos volumes aproximados, pela esquerda e pela direita, respectivamente, descritos nas tabelas abaixo.

Soma pela Esquerda | 1044.8499 |

Volume aproximado | 328.24928 |

Tabela 8 – Soma e volume aproximado pela esquerda.

Fonte: Dos autores (2012).

Soma pela direita | 1033.2 |

Volume aproximado | 324.59 |

Tabela 9 – Soma e volume aproximado pela direita.

Fonte: Dos autores (2012).

3.4 VOLUME EXATO POR INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO OBTIDA

Os volumes encontrados por soma de Riemann são volumes aproximados, ou seja, existe discrepância com a realidade. Para calcularmos o volume exato é utilizada a Integração da função obtida.

Para fazer a integração utilizamos a fórmula descrita na figura abaixo.

V=π*ab[fx]²dx

Figura 13 – Fórmula do volume exato por integração.

Fonte: Dos autores (2012).

Onde a e b é o valor do intervalo e f(x) é a função obtida.

A partir deste conceito, foi calculado o volume exato por integração através do software Maple®.

Para calcularmos a integral no software foi utilizado o comando “π*{int[(f(x)²),x=a..b]}”.

Feito isso, o resultado aparecerá em azul, como a figura abaixo, que já é o resultado da integração da função da curva do objeto obtida anteriormente.

Figura 14 – Integral resolvida e volume exato.

Fonte: Dos Autores.

Para ter-se o valor exato do volume, substitui-se o π pelo seu valor, que é aproximadamente 3,14159265358979. Assim temos o resultado final do volume exato da integração da equação da curva do objeto obtida, que é:

V= 326.394811187271 cm3

CONCLUSÃO

Realizou-se revisão de literatura sobre soma de Riemann e integração, concluindo-se com sucesso a tarefa de determinar o volume do sólido de revolução, escolhido pela equipe, obtido pela rotação de um região delimitada pela função f(x) no intervalo [a,b] em torno do eixo x uma tarefa que envolve o método de soma de Riemann e o método do disco. Também foi possível fazer uma revisão e exercitar o conteúdo de integração por meio da realização deste.

Além disso, aprendeu-se a forma de encontrar o polinômio da curva que o objeto apresenta, utilizando-se o software Microsoft Office Excel ® para a realização desta tarefa, facilitando a resolução da mesma.

Por fim, com a realização deste trabalho, foi possível ver a aplicação prática dos métodos anteriormente citados – soma de Riemann e método do disco –, mais especificamente para definir o volume do objeto utilizado para realização deste trabalho. E, assim, verificou-se que o método de integração é exato, enquanto o método de soma de Riemann fornece um valor aproximado de área e, consequentemente, também aproximado de volume.

O aprendizado destas técnicas pode ser indicado para estudantes de engenharia que fazem uso do cálculo integral envolvido na resolução do problema deste trabalho. Também indica-se àqueles que têm a necessidade de calcular o volume de outros objetos que apresentem diferentes perfis curvos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

INSTITUTO SUPERIOR TUPY. Capítulo I: Integral. Apostila. Núcleo de Cálculo – Instituto Superior Tupy, 2011.

INSTITUTO SUPERIOR TUPY. Volume de sólido em revolução. Descrição de trabalho acadêmico. Núcleo de Cálculo – Instituto Superior Tupy, 2012.

THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. v.1.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Soma de Riemann. Disponível em: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap21_Calc1.html>. Acesso em: 12 out. 2012.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO. História da integral. Disponível em: <http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histintegral.htm>. Acesso em: 13 out. 2012.

Parte 2222

Etapa 3

Passo 2

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (igura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a e 6,3863 u.a.

Figura 1

S1=021x=lnx02→ln2-ln0=0,6931 u.a

Figura 2

S24=044x=4.lnx04→4.ln4-4.ln0=5,5452 u.a

S2=4.5,5452=22,1808 u.a

Podemos afirmar que:

(c). (I) é verdadeira e (II) é falsa

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio: 8