Calculo 3

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ATPS – Cálculo 3: Estudo de integrais 

Professor: Claudio Assano Disciplina: Cálculo III 

NOMES: Alberto de Oliveira França Ailson Jorge Santos Leonardo da Silva Fonseca Waldemar de Souza Neto RA: 0000019911 RA: 0000025705 RA: 0000020311 RA: 0000025746 

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA EEL – 3A CURSO DE ENGENHARIA PRODUÇÃO ENP – 3A 

Guarulhos Maio/2012 

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Sumário 1. INTEGRAL INDEFINIDA .................................................................................................... 3 1.1 Primitiva de uma função ....................................................................................................... 3 1.2 Definição de Integral Indefinida ........................................................................................... 4 1.3 Teorema da Função Constante ............................................................................................. 4 1.4 Função polinomial ................................................................................................................ 4 1.5 Expoente da função polinomial diferente de -1 .................................................................... 5 1.6 Propriedades da Integral Indefinida: Somas e Múltiplos Constantes ................................... 5 1.7 Integrais imediatas ................................................................................................................ 5 1.8 Problema envolvendo integrais imediatas ............................................................................ 6 2. INTEGRAL DEFINIDA ........................................................................................................ 7 2.1 Definição de Integral Definida como Área........................................................................... 7 2 3x 2 x 1 2.2 Resolução da integral dx ................................................................................. 7 x 1 2.3 Resolução de exercícios........................................................................................................ 8 2.3.1 Exercício 1 ......................................................................................................................... 8 2.3.2 Exercício 2 ......................................................................................................................... 8 3. OUTRAS FORMAS DE INTEGRAÇÃO ........................................................................... 10 3.1 Resolução 

x 

3 

x 5 7dx ................................................................................................... 10 

3.2 Resolução A(t ) 20,3e0,09t ................................................................................................. 10 3.3 Resolução 20,3t.e0,09t dt .................................................................................................... 10 4. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS E VOLUME DO SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ............ 11 4.1 Área do retângulo ............................................................................................................... 11 4.2 Volume do sólido de revolução .......................................................................................... 11 4.3 Resolução de exercícios...................................................................................................... 12 4.3.1 Exercício 1 ....................................................................................................................... 12 4.3.2 Exercício 2 ....................................................................................................................... 12 5. CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 13 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 14 

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1. INTEGRAL INDEFINIDA 1.1 Primitiva de uma função Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um Intervalo I, se para todo 

x I , temos: 

F ' ( x) f ( x) 

É possível definir que as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando os intervalos não são explícitos e refere-se a duas primitivas da mesma função f(x), entende-se que essas funções são primitivas de f(x) no mesmo intervalo. Exemplo 1: F(x) = x² é uma primitiva de f(x) = 2x, 2 xdx 2 x 2 Exemplo 2: F(x) = 3x³ é uma primitiva de f(x) = 9x², 9 x 2 dx 3x 3 Porém a mesma função 2x pode ter outras primitivas, por exemplo, F(x) = x²+2..., com isso, é possível concluir que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Para tanto se adota na primitiva de todas as funções +C, mostrando que pode haver alguma constante não considerada na expressão original. De acordo com esta notação o símbolo 

 

é chamado de sinal de Integração. 

O processo que permite achar a Integral Indefinida é chamado de Integração. O símbolo dx que aparece na função a ser Integrada serve para identificar a variável de Integração. Portanto, conclui-se que para calcularmos as primitivas, devemos seguir as instruções descritas abaixo: [ n x ] = x n x1 

n x dx  

x n1 C n 1 

Assim, demonstramos os cálculos dos exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1: 

x 2 2 x 2 xdx 2 xdx 

2x2 x2 C 2 

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Exemplo 2: 

3x 3 9 x 2 9 x 2 dx 9 x 2 dx 

9x3 3x 3 C 3 

1.2 Definição de Integral Indefinida Todas as primitivas de f(x) são da forma F(x) + C. Para isso, usa-se uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites, ela é chamada de integral indefinida: 

f ( x)dx F ( x) C 

É importante compreender a diferença entre: 

f ( x)dx 

b