Calculo 3

Somatória

Considere a operação: Chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (), utilizando a notação escrita como segue:

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão , fazemos de forma sequencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de U, pretendido na referida operação.

Propriedades:

Constantes:

com c constante.

Comprovação:

Fator:

Adição:

Comprovação:

Exclusão de termo antecedente:

Comprovação:

Utilização para Calculo de Volume

Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas têm formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo sólido encontrado na natureza por meio da geometria euclidiana. As curvas estão muito presentes ao nosso redor, muitas delas podem ser determinadas por equações. Porém, antes que a teoria do cálculo fosse elaborada, os volumes eram calculados por aproximações. Com a evolução da matemática, especialmente com Isaac Newton, o qual consolidou melhor o cálculo diferencial e integral, hoje, podemos encontrar precisamente o volume de corpos sinuosos, usando-se da função integrante.

Figura 1

Como nota-se na figura 1, para cada x, a ≤ x ≤ b, um plano perpendicular a um eixo x corta um sólido determinando no sólido uma secção transversal de área A(x). De x = a até x = b, são determinadas as áreas de todas as secções transversais desse sólido, sendo b – a o seu “comprimento”. Então, para descobrir o volume, suponhamos que o intervalo [a,b] é subdividido

Se x é um ponto dessa subdivisão, determina-se o volume de uma fatia “cilíndrica”, de “base” com área A(x) e “altura” ∆ :

∆

∆

Uma aproximação do volume do sólido é dada pelo somatório desses vários volumes cilíndricos,

≅ ∆

∆

sendo o somatório aqui escrito sem os habituais índices i, para simplificar a notação. Quanto mais finas as fatias “cilíndricas”, mais próximo o somatório estará do volume do sólido, sendo seu volume igual a:

lim∆→∆

lim∆→

∆

Os cientistas de áreas aplicadas costumam dizer que é um elemento infinitesimal de volume, construído sobre um ponto x, de um “cilindro” de área da base A(x) e altura (espessura) “infinitesimal”.

Qual é o volume de um tronco de uma pirâmide de altura h, cuja base é um quadrado de lado a e cujo topo é um quadrado de lado b? Solução: Posicionemos um eixo x perpendicular às duas bases. Cada ponto (altura) x demarcado nesse eixo, corresponde, no tronco da pirâmide, a uma secção transversal quadrada, de tal modo que x = 0 corresponde à base quadrada de lado a, e x = h corresponde ao topo quadrado de lado b. Veja a figura 2:

Figura 2

Procurando uma função afim, f (x) = mx + n, tal que f (0) = a e f (h) = b, encontramos .

A área da secção transversal, na altura x, é dada por:

! "² O volume do tronco da pirâmide é então:

Conforme um antigo papiro, esta fórmula já era conhecida pela antiga civilização egípcia do século 18 A.C.

Utilização de Cálculos de Áreas

Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelos estudos anteriores, e foi constatado que calcular área, por Integral Definida conseguimos obter um resultado mais exato. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas :

A área está toda acima do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então

A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então

Neste