Calculo 3

Etapa 1

Integral.

Os primeiros problemas que apareceram na historia relacionados com integrais são os problemas de quadratura (um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar área). Um dos problemas mais antigos dos gregos foi o da medição de superfície a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o calculo, surgiu por volta do ano 225 A.C. trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triangulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com quantidade infinita de parcelas. Outra contribuição de Arquimedes foi à utilização do método de exaustão para encontrar a área do circulo, obtendo uma das primeiras aproximações para o numero π.

A contribuição seguinte para o calculo integral apareceu ao final do século XVI quando a mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro da gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou de quadratura parábola onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de calculo de área desse tipo. Kepler, em seu trabalho sobre movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica, o método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas, ele subdividiu o solido em varias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do calculo integral foram Fermat e Cavalieri. Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos “indivisíveis”. Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Wallis desenvolveu principalmente de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das “parábolas maiores”: curvas do tipo y=kxn, onde k>0 é constante de n=2, 3,4, etc. Por volta de 1640, a formula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros. O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidade variada. A derivada da distancia era a velocidade e a operação inversa partindo da velocidade levavam a distancia. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Calculo, estava trabalhando em direção a esse resultado, foi Newton, entretanto, quem, continuando na direção, formulou o teorema.

Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o calculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions – derivação – e fluents – integração – e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Calculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas “reversas”. Na época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais.

Hoje em dia o calculo integral é largamente utilizado em varias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

1.1. Passo 1: integral definida e integral indefinida

Integral indefinida

Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação. No entanto, aqui essas regras são usadas no sentido contrario e levam em particular a “integração” de polinômios.

Se y=F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo:

2x

Podemos descobrir qual a função F(x)?

F(x) = x2

Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada.

x2 + 1; x2 - ; x2 + 5π....

E mais geralmente, x2 + C onde C é uma constante qualquer.

Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é detonada por:

O símbolo é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.

•

• , representa uma família de função (a família de todas as primitivas da função integrando).

Exemplo: ou

Estão ambas corretas, mas a primeira da uma integral enquanto a segunda da todas as possíveis integrais. A constante c na segunda formula chama-se constante de integração e é freqüentemente referida como uma constante arbitraria.

Propriedades da integral indefinida: Proposição sejam f, g: I  R e K uma constante. Então:

1.

2.

A integral da soma é a soma das integrais separadas. Isto se aplica a qualquer numero finito de termos.

3.