Calculo 3

ETAPA 1 .

Passo 1;

O cálculo é um ramo muito importante da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria ,que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades.

O cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática ,e a integral indefinida também pode ser chamada de anti-derivada ,uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida ,inicialmente definida como soma de Riemann ,estabelece limites de integração ,ou seja é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos ,dai o nome integral definida.

A substituição consiste em aplicar uma mudança de variáveis U= g(x) ,onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração .Fazendo du=g’(x)dx:

ʃ f (u) du

Esta técnica ,que é fruto da regra da cadeia para derivadas ,é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções ,onde uma é derivada da outra.

ALGUNS EXEMPLOS DE INTEGRAIS :

Integrais por substituições :

PASSO 2;

Desafio A;

ʃ(a^3/3+3/a^3 +3/a)da

ʃ a^3/(3 ) da+ʃ 3/a^3 da+ ʃ 3/(a ) da=

1/3 ʃ a³+¹ da+3ʃa-^3+¹ da+3ʃa-^1 da

1/(3 ) (a^4/(4 ))+3 (3/(2 a²))+3 ln⁡ a=

a^4/12- 3/(2 a²)+3 ln⁡〖a+c〗

Desafio B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) = 1000+50q

1000 dq+ 50q dq

1000 dq + 50 q dq

1000 + C + 50 q22 dq

1000q+25 q2+ C

C0= 1000 .0+ 25 02+ C

10000=0+0+C

C=10000

Cq= 10000+1000q+25q²

Desafio C:

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e^0,007t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

1992 Para 1994

Ct=16,1.e^0,007t = Ct=16,1. e^0,007t =

C2= 16,1. e^0,007t = C2= 16,1. e^0,007t=

C2=18,52 bilhões C2=21,30 bilhões

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

Desafio D;

A área sob a curva y=ex/2 de x=-3 a x=2 é dada por:

e^(x/2)/(1/2) -> 2e x/2

2e-3/2 = 0,44

2e 2/2 =5,43

5,43 – 0,44 = 4,99

ETAPA 2

Passo 2;

(3 – t).(t² - 6t)^4 dt= -(〖(t^2-6t)〗^5+c)/10

u= t² - 6

du/2+2t-6. dt

ʃ(t² - 6t)^4.(3-t)dt

u^4 du/(-2)

-1/2 ʃu^4 du

-(1 )/2 u^5/5+c

-u^5/10+c=

-((t^2-6)/10 )^5+c

5/0 ʃ t/√(t+4) dt=4,67

t.(t+4)^-1/2 dt

(t+4)^-1/2 = 2(t+4)^ 1/2

t.2 (t+4)^ 1/2 - 5/0 ʃ 1.2 (t+4)^ 1/2 dt

2t (t+4)^1/2 - 2 5/0 ʃ (t+4)^1/2 dt

5/0 ʃ (t+4)^1/2 dt

t+4 dt=1dt=dt

5/0 ʃ t^1/2 dt = t^(3/2)/(3/2) =2/3.t^3/2 =2/3

(t+4)^3/2

2t(t+4)1/2 -2. 2/3.(t+4)3/2

2t(t+4)^1/2 - 4/3 (t+4)^3/4

Podemos afirmar que :

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

ETAPA 1 .

Passo 1;

O cálculo é um ramo muito importante da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria ,que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades.

O cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática ,e a integral indefinida também pode ser chamada de anti-derivada ,uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida ,inicialmente definida como soma de Riemann ,estabelece limites de integração ,ou seja é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos ,dai o nome integral definida.

A substituição consiste em aplicar uma mudança de variáveis U= g(x) ,onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração .Fazendo du=g’(x)dx:

ʃ f (u) du

Esta técnica ,que é fruto da regra da cadeia para derivadas ,é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções