Calculo

1 Apresentação Consideremos a função f : Rn →R denominado de funções reais de várias variáveis. Em geral, muito das propriedades no caso de n = 2 e n = 3 também valem para casos de n geral. No caso do Cálculo, costumamos concentrar o estudo para casos de n = 2 e n = 3 por poder ser visualizados facilmente, mas esteja atentos de que nem tudo pode ser generalizado para Rn. Por exemplo, o produto vetorial só pode ser usado para R3.

2 Domínio no caso de f : R2 →R Apesar de requerer cuidados maiores que no caso de f : R→R, ainda podemos resolver com ajuda gráca. Como exemplo, consideremos f(x,y) =px2 + y2 −1. O domínio é Dom(f) = {(x,y) ∈ R2 :x 2 + y2 −1 ≤ 1}, o que não é difícil de ver que é o interior do círculo de raio 1, inclusive o círculo, o que é feito no exemplo mais adiante. Vamos analisar com mais cuidado, enunciando resultados necessários para proceder no caso geral. Apesar de ainda não ter discutido aqui, supomos que já sabemos o que seria contínua no caso de f : Rn → R. Por exemplo, polinômios sempre é contínua, como no caso de f(x,y,z) = x2y + z. As funções que sejam função contínua de uma única variável também é contínua. Por exemplo, f(x,y) = ex é contínua. A soma, o produto e a composta (quando existe composta) da contínua é contínua e quociente da contínua é contínua se denominador não for nulo. Assim, já temos muitos exemplos das funções contínuas. Teorema 2.1. Seja g : Rn → R uma função contínua numa região conexa por por caminhos D tal que não anula em nenhum dos pontos de D. Então g não muda de sinal em D. Corolário 2.2. Seja g : Rn → R uma função contínua em D tal que não anula em nenhum ponto. Então g(x1,...,xn) > c para algum ponto (x1,...,xn) ∈ D se, e somente se, g(x1,...,xn) > c para todo ponto (x1,...,xn) ∈ D. Isto pode ser usado para critério de obter região determinada pela inequação. Consideremos g : Rn → R e uma inequação g(x1,...,xn) > c. As superfícies de nível g(x1,...,xn) = c e o conjunto dos pontos de descontinuidades dividem o domínio em várias regiões conexas. Sejam Di, estas regiões. Para cada ponto Pi no interior da região Di, testamos a condição. Se Pi satisfaz a desigualdade, então todo ponto de Di satisfaz a condição e vice-versa.

1

X

Y

1

1

-1

-1

Figura 1: Disco fechado x2 + y2 ≤ 1

X

Y

1

1

-1

-1

Figura 2: Disco aberto x2 + y2 < 1

Observação 2.3. É possível construir uma função que o procedimento acima falha por não dividir em um número nito de regiões conexas. Note também que o procedimento acima é usado mesmo nas funções de uma variável, como no caso de análise de teste das derivadas, apesar do domínio costumam ser resolvidos pelas operações sobre intervalos. Exemplo 2.4. No caso do x2 +y2 ≤ 1, observemos que x2 +y2 = 1 é um círculo que divide o plano em duas regiões e f(x,y) = x2 + y2 é contínua. Note que (0,0) está na região limitada (interior do círculo). Temos 02 + 02 < 1 de forma que todos pontos da região interior satisfaz a condição. Agora, tomemos (2,1) que obviamente está no lado de fora. Como 22 + 02 = 4 > 1, ele não satisfaz a desigualdade e todo ponto do lado de fora do círculo não satisfaz a desigualdade. Como inequação é x2 + y2 ≤ 1, seria lado de dentro e o próprio círculo (veja Figura 1). Quando o contorno faz parte (desigualdade não restrita como em x2 + y2 ≤ 1), dizemos que a região é fechado e usamos os traços sólidos (contínuos) para o contorno (veja Figura 1). Quando o contorno não faz parte (desigualdade restrita como em x2 + y2 < 1), usamos o contorno pontilhado (veja Figura 2). Quando uma parte da fronteira da região é aberta e outra parte é fechada, a região não é aberta, nem fechada. Nos podemos vericar facilmente que 1. Se f : R → R é contínua, então {(x,y) ∈ R2 : y < f(x)} é o lado de baixo do gráco de f. Também temos que {(x,y) ∈R2 : y > f(x)} é lado de cima do gráco de f. 2. Se g : R → R é contínua, então {(x,y) ∈ R2 : x < g(y)} é o lado esquerdo do gráco de g (gráco de g é{(x,y) : x = g(y)}que é invertido. Também temos que{(x,y) ∈R2 : x > f(y)} é lado direito de g.

2

X

Y