Calculo

1.1.2 Cálculo Numérico

O cálculo numérico compreende:

¾ A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações

aritméticas;

¾ O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às

respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos);

¾ O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em

escrever o método numérico como um programa de computador

Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No entanto,

não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

1.1.3 Fontes de erros

Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um edifício

que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de

metal e um cronômetro. O que fazer?

Conhecemos também a equação

onde:

• s é a posição final;

• s0 é a posição inicial;

• v0 é a velocidade inicial;

• t é o tempo percorrido;

• g é a aceleração gravitacional.

A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2

segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equação acima que a

altura do edifício é de 19,6 metros.

Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?

Erros de modelagem:

− Resistência do ar,

− Velocidade do vento,

− Forma do objeto, etc.

Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático. Erros de resolução:

− Precisão dos dados de entrada

(Ex. Precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros, gravidade);

− Forma como os dados são armazenados;

− Operações numéricas efetuadas;

− Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).

1.2 Representação numérica

Motivação:

Exemplo 1:

Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros.

a) 31140 m2

b) 31416 m2

c) 31415,92654 m2

Exemplo 2:

Calcular = ∑3000

1 i S x para xi = 0.5 e para xi = 0.11

S para xi = 0.5 S para xi = 0.11

Calculadora 15000 3300

Computador 15000 3299,99691

Por que das diferenças?

No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π :

a) π =3,14

b) π =3,1416

c) π =3,141592654

Dependência da aproximação escolhida para π . Aumentando-se o número de dígitos

aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato.

No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base utilizada, da

forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas

operações aritméticas.

O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto,

discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um

dado intervalo [a,b]. A representação de um número depende da BASE escolhida e do

número máximo de dígitos usados na sua representação. Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia?

Base decimal (Utiliza-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).

Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria dos

computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1.

Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a conversão

para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os resultados na base

decimal para o usuário.

Exemplos: (100110)2 = (38)10

(11001)2 = (25)10

1.2.1 Representação de um número inteiro

Em princípio, representação de um número inteiro no computador não apresenta qualquer

dificuldade. Qualquer computador trabalha internamente com uma base fixa β , onde β

é um inteiro ≥ 2 ; e é escolhido como uma potência de 2.

Assim dado um número inteiro x ≠ 0 , ele possui uma única representação,

( ... ) ( ... )

0

0

1

1

1

x d d 1 d2d1d0 d β d 1β d β d β n

n

n = ± n n = ± n