Calculo A Diva

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros

positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3, ...}.

Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos

números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números

inteiros que denotamos por

Z={0,±1,±2,±3,...}.

2 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o

conjunto dos números racionais. Denotamos:

Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln,

n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números

formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números

irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por

1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao

conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição

e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado

por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por

ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.

1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a.

1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então

a + (b + c) = (a + b) + c e a (b - c) = (a•b) • c.

1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então

a• (b + c) = ab + ac.

1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a

e a • 1= a, para qualquer a E R.

Números reais 3

1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a,

tal que a + (—a) = O.

1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por

1/a, tal que a •

1—

a

= 1.