Calculo De Raízes De Um Polinômio

Métdo de Birge-Vieta

Cálculo de Raízes Reais de um Polinômio

Introdução

Não se precisa de Cálculo Numérico para calcular as raízes de uma equação do segundo grau. É de todos conhecida a fórmula –b ±(b2 – 4ac) /2a .

Entretanto, se temos polinônios de ordem maior que 2, as dificuldades aumentam.

Há soluções para casos particulares, como as biquadradas, faltando soluções analíticas gerais para polinômios de ordem elevada.

O problema é enfrentado com o Método de Newton, já apresentado, onde se usa a expressão xi+1 = xi – f(xi) / f ’ (xi).

Para cálculo do valor de f(xi) e f ’ (xi) , usa-se o algoritmo de Ruffini ou Briot-Ruffini, com o objetivo de minimizar os cálculos necessários, permitindo maior precisão.

Algoritmo de Briot-Ruffini.

Para se calcular o valor de um polinômio num ponto x0 , faz-se a divisão de P(x) por x – x0 e acha-se o resto R, da divisão.

R = p(x0) .

Vejamos: seja Q(x) o quociente da divisão de P(x) por x – x0 .

Tem-se: P(x) = (x – x0) Q(x) + R .

P(x0) = (x0 – x0) Q(x0) + R . Logo: R = P(x0) .

Seja o dividendo P(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

e o quociente Q(x) = b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1 , sendo R o resto.

P(x) = (x – x0) Q(x) + R , logo:

a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x – x0) (b4 x3 + b3 x2 + b2 x + b1) + R =

= b4 x4 + (b3 - x0 b4) x3 + (b2 - x0 b3) x2 + (b1 - x0 b2) x + (R - x0 b1)

Tratando-se de identidade de polinômios, pois essa igualdade vale para qualquer valor de x , tem-se:

b4 = a4

b3 - x0 b4 = a3 ou b3 = a3 + x0b4

b2 - x0 b3 = a2 ou b2 = a2 + x0b3

b1 - x0 b2 = a1 ou b1 = a1 + x0b2

R - x0 b1 = a0 ou R = a0 + x0b1

a4 a3 a2 a1 a0

x0 b4 b3 b2 b1 R

Dessa forma tem-se o quociente Q(x) e o valor de P(x0) = R.Cálculo das raízesVoltemos ao cálculo das raízes do polinômio, pelo método de Newton-Raphson.Partindo de x0 , vamos calcular x1 = x0 – P(x0)/P’(x0) , onde P(x0) e P’(x0) serão calculados usando-se Briot-Ruffini.

Entretanto, lembrando que P(x) = (x-x0)Q(x) + R , tem-se que :

P’(x) = (x-x0)Q’(x) + Q(x) e logo, P’(x0) = (x0 – x0)Q’ (x0) + Q(x0) = Q(x0)

Assim, P’(x0) = Q(x0) .

Logo, x1 = x0 – P(x0)/Q(x0) .

Quando se calcula R = P(x0) , logo abaixo da linha está o Q(x). Assim, basta repetir a operação que se fez com o P(x), para o Q(x), cujo grau é o de P(x) menos 1, e se terá, à direita,

R* = Q(x0) = P’(x0), da mesma maneira como se calculou o R, anterior.

a4 a3 a2 a1 a0

x0 b4 b3 b2 b1 R

x0 c4 c3 c2 R*

Assim, x1 = x0 – R/R* .

Repetindo-se o processo, tem-se: xi+1 = xi – R / R* , até que | xi+1 – xi | < e , onde e é a tolerância.

Este método para cálculo de raízes de polinômios, usando-se o algoritmo de Briot-Ruffini, associado ao método de Newton-Raphson, recebe o nome de Método de Birge-Vieta.Vejamos um exemplo numérico:

Calcular as raízes reais de P(x) = x3 - 6x2– 45 x + 50 = 0

Seja x0 = 0

1 -6 -45 50

0 1 -6 -45 R=50

0 1 -6 R*=-45

x1 = 0 – 50 / (-45) = 1,11

1 -6 -45 50

1,11 1 -4,89 -50,43 R=-5,98

1,11 1 -3,78 R*=-54,63

x2 = 1,11 – (-5,98)/(-54,63) = 1,00

1 -6 -45 50

1,00 1 -5 -50 R=0

1,00 1

Sendo R= 0, a primeira raiz vale 1,00.

r1= 1,00

Na