Calculo Financeiro

Resp: a) zero b) P(A) c) P(A∩B)/P(B)

1) Considerando dois eventos A e B, qual a probabilidade condicional P(A | B) se: a) A e B são eventos mutuamente excludentes. b) A e B são eventos independentes. c) A e B são dois eventos quaisquer.

Resp: a) 0,3 b) 0,6

2) Se 8.0)(BAP, P(A)=0.5 e P(B)=x. Determine o valor de x no caso de: a) A e B serem eventos mutuamente excludentes. b) A e B serem eventos independentes.

3) São lançados dois dados: a) Descreva o espaço amostral. b) Qual é a probabilidade de se obter uma soma de pontos igual a 7? c) Qual é a probabilidade de se obter soma de pontos 10 ou um par com pontos iguais? d) Qual é a probabilidade de se obter produto dos pontos 6 ou 8? e) Qual é a probabilidade de se obter soma 6, sabendo-se que o ponto do primeiro dado é maior que o ponto do segundo dado?

Resp: a)

4) As probabilidades de três jogadores (A, B, C) marcarem um "penalty" são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10.

Resp: a) 28/75 b) 1/6 c) 1/50

Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar; c) todos errarem.

5) Uma urna contém cinco bolas brancas e oito vermelhas, e delas retiramos sete bolas ao acaso, simultaneamente. Qual a probabilidade de haver, entre as bolas extraídas, exatamente três bolas brancas? Resp: 0,4079

1BPe A e B mutuamente exclusivos, calcular:

7) Um sistema é composto de três componentes, 1, 2 e 3, com confiabilidades (probabilidade de funcionar) 0,9, 0,8 e 0,7 respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema, se 2 ou 3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica no não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionam independentemente, calcular a confiabilidade do sistema (probabilidade do sistema funcionar).Resp.: 0,846

8) Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos menores e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela ou seja boa, ou tenha defeitos graves. d) Se duas peças são escolhidas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de que: d.1) ambas sejam boas; d.2) ambas tenham defeitos graves; d.3) exatamente uma seja boa. Resp: (a) 7/8 (b) 5/8 (c) 3/4 (d.1) 3/8 (d.2) 1/120 (d.3) 1/2

9) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, qual a probabilidade de: a) X vencer exatamente três partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas. Resp: (a) 80/243 (b) 242/243 (c) 64/81

10) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o vínculo e a instituição a que pertence dentro da

UFOP, a seguinte composição:

ICEB Escola de Minas

Alunos 21 39 Professores 14 26

Calcule: a) A probabilidade de um escolhido ser Aluno; b) A probabilidade de um escolhido ser Professor da Escola de Minas; c) A porcentagem dos integrantes da Escola de Minas; d) A porcentagem dos Alunos pertencentes ao ICEB; e) Se o sorteado for do ICEB, qual a probabilidade de ser Professor? f) Se o sorteado for Aluno, qual a probabilidade de ser da Escola de Minas? Resp: (a) 0,600 (b) 0,260 (c) 0,650 (d) 0,210 (e) 0,400 (f) 0,650

1) Amostras de vidro de laboratório estão em pacotes leves e pequenos ou pesados e grandes. Suponha que 2% e 1% da amostra embalada em pequenos e grandes pacotes, respectivamente, quebrem durante o transporte. Se 60% das amostras forem embaladas em pacotes grandes e 40% em pacotes pequenos, qual será a proporção de amostras quebradas durante o transporte? Resp: 0,014

12) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? Resp: 4/19.

13) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? Resp: 8/35.

14) Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas críticas, 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas críticas e 10% dos produtos ruins recebiam boas críticas. Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% tinham sido moderadamente aprovados e 25% tinham sido produtos ruins. a) Qual é a probabilidade de que um produto atinja uma boa crítica? b) Se um novo projeto atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado? c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado? Resp: (a) 0,615 (b) 0,618 (c) 0,052

15) Em certa região, 40% dos produtores de gusa distribuem sua produção em indústrias siderúrgicas locais, por outro lado, 70% não cumprem as exigências de reflorestamento previstas por lei. Dentre os que comercializam seu produto na própria região, 15% desenvolvem processos satisfatórios de reflorestamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma empresa, encontre a probabilidade dela: a) não distribuir sua produção em indústrias siderúrgicas locais e não desenvolver processos satisfatórios de reflorestamento; b) não desenvolver processos satisfatórios de reflorestamento, dado que comercializa sua produção em indústrias siderúrgicas locais. Resp.: (a) 0,36 (b) 0,85

16) Antes de projetar um túnel através de uma região rochosa é feita uma exploração geológica para investigar superfícies em potencial onde pode ocorrer deslocamento. Por razões econômicas, apenas porções de extrato podem ser exploradas. Além disto, as medições obtidas estão sujeitas a erros, ou seja, os instrumentos de medição não são perfeitamente confiáveis. Assim, o geólogo pode somente concluir que a condição da rocha pode ser fortemente fissurada (F), moderadamente fissurada (MF) ou levemente fissurada (LF), com probabilidades iguais a 0,1; 0,1 e 0,8, respectivamente. Baseando-se nesta informação, um engenheiro projeta o túnel e estima que se a condição da rocha for LF, a probabilidade do projeto não “falhar” (confiabilidade do projeto) é de 0,9. Contudo, se a condição da rocha for MF, a probabilidade de “falha” irá dobrar e se a condição for F, a probabilidade de “falha” será 10 vezes que aquela da condição LF.

a) Determine a probabilidade de que o túnel proposto no projeto não “falhe”; b) Se o túnel ruir (“falhar”), qual a probabilidade de que a rocha seja do tipo LF? Resp.: (a) 0,998 (b) 0,40

17) O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X, sua densidade é apresentada a seguir.

  c xse xse

xf

Determine: a) A função de distribuição acumulada de X b) P(x<1); P(X>3) e P(1<X<4), utilizando a função definida em (a). c) P(X<3 | X>1). d) O número b tal que P(X>b)= 0,6; e) O valor esperado, a variância e a mediana. (a mediana será igual a Md, tal que P(X < Md) = 0,5.

18) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: P(x)=c/x para x=1, 3, 5, 7. a) Determine c. b) Calcular P(2 ≤ x ≤ 6) c) Quanto vale F(5)? Resp: (a) c=105/176 (b) 7/2 (c) 161/176

20) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar uma peça é uma v.a. discreta com a seguinte distribuição de probabilidade:

b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$2,0. Mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha um adicional de R$0,50 por cada minuto poupado. Determine a distribuição de probabilidade, a média e a variância da v.a. G, sendo G a quantia ganha por peça. Resp.: a) 4,6 min; b) R$2,75, 0,41 (centavos)2

21) Uma liga é formada pela reunião da mistura em fusão de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada como uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade

Suponha que, L, o lucro líquido obtido (em reais) pela venda dessa liga (por kg), seja uma variável aleatória tal que: L = 2 + 3X. Calcule o lucro esperado por kg. Resp.: E(L) = 102 reais, por kg.

2) Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que a) Para qual valor de k a expressão acima é uma função de probabilidade? b) Calcule o valor esperado e a variância do número de acidentes.

Resp: (a) 1 (b) (c) 0,0332

c) Calcule )5|3(XXP 23) Uma v.a. X tem a seguinte função densidade de probabilidade:

Determine: a) a constante k, para que a f(x) seja uma fdp b) a média e a variância de X c) a FDA de X

, caso contrário , 0 < x < 100 d) P(X ≤ 2); P(3 ≤ X ≤ 8); P(X>1), utilizando a função definida no item (c).

x x x x

Resp: (a) 0,6415 (b) 0,1887 (c) 0,0754 (d) 1

23) Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de: a) Haver algum item com defeito; b) Haver exatamente dois itens defeituosos; c) Haver mais de dois itens defeituosos; d) Qual o número esperado de itens defeituosos no lote?

24) Uma faculdade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o curso introdutório de estatística. Considere que 20 estudantes tenham se registrado para o curso este semestre. a) Neste exercício, estamos trabalhando com amostra ou população? Por quê? b) Qual é a probabilidade de que dois ou menos se retirarão? c) Qual é a probabilidade de que exatamente quatros se retirarão? d) Qual é a probabilidade de que mais de três se retirarão? e) Qual o valor esperado de alunos que se retiraram?

em estudo (b) 0,2061 (c) 0,2182 (d) 0,5885 (e) 4

Resp: (a) População, pois estamos com todos os alunos da turma

25) Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página editada com erro igual a 0,8%. Em um livro de 500 páginas, determinar a probabilidade de se encontrar no máximo 4 páginas com erro. Resp.: 0,6288

26) Num determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma: a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? c) Se a empresa paga uma multa de R$10,0 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado de multa, num total de 1000 caixas? Resp.: (a) 0,081 (b) 0,0815 (c) R$4095,0

27) O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é de 1,7 carros/minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 2 carros em 2 minutos? Resp.: 0,1929

28) Na exploração de petróleo, a probabilidade de sucesso no Mar do Norte é de um em quinhentas perfurações. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 8 poços produtivos em 1000 explorações? Resp.: 0,9998

29) Uma fábrica produz válvulas, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas com 10 peças. Se a caixa não tiver nenhuma válvula defeituosa, seu preço de venda é de R$10,0; tendo uma, o preço é de R$8,0; duas ou três, o preço é de R$6,0; mais que três, o preço é de R$2,0. Qual o preço médio de venda de uma caixa? Resp.: R$6,48.

30) Em um experimento com traçador radioativo, foram observados, em média, 4,4 cintilações por segundo.

Encontre a probabilidade de que pelo menos uma cintilação ocorra em um intervalo de tempo de 4 minutos. Resp. 1

31) Para evitar se detido pela alfândega, um turista colocou 6 cápsulas de narcótico num vidro contendo 9 pílulas de vitaminas, que a elas se assemelham. Se o funcionário da alfândega seleciona 3 pílulas ao acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de que o turista seja preso por porte ilegal de narcótico? Resp.: 0,8154