Calculo I

Vejamos o gráfico a seguir:

The limit of a function.svg

Figura 1

O gráfico representa a função f: \! \mathbb{R}\ \! \smallsetminus \! \{ 6 \} \to \mathbb{R}\ definida pela regra:

y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)}

Esta função não está definida para x\ =\ 6 , pois não faz sentido escrever y\ =\ \frac{0}{0} . No entanto, podemos calcular f(x) para valores de x muito próximos de 6. Observe a tabela:

x 5,5 5,8 5,99 6 6,05 6,2 6,5

y=f(x) 0,75 0,9 0,995 \mathcal{6}\exists 1,025 1,1 1,25

Se fizermos x\ =\ 5,5 temos y\ =\ 0,75; se agora fizermos x\ =\ 5,8 teremos y\ =\ 0,9 ; depois fazendo x\ =\ 5,99 teremos y\ =\ 0,995 ; portanto quando nós aproximamos x de 6, vemos que também aproximamos y de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos x\ =\ 6,5 teremos y\ =\ 1,25 ; e para x\ =\ 6,2 teremos y\ =\ 1,1 ; finalmente, se x\ =\ 6,05 teremos y\ =\ 1,025 e vemos que o mesmo acontece[1].

O que isto quer dizer?

Acontece que, quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1. Perceba que quando x se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que y também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se f(x)=y então, o limite de f(x) quando x tende a 6 é igual a 1.

Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:

\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1

Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro.

Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?

Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a distância entre dois números reais é dada pela fórmula d(a,b)=|a-b| . Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:

Se \delta é um número pequeno e |x-a|<\delta então x está próximo de a ;

Se diminuimos gradativamente o valor de \epsilon , e ao mesmo tempo escolhemos y satisfazendo |y-L|<\epsilon , podemos dizer que estamos aproximando y de L;

Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de x e a variação dos valores assumidos pela função f(x) pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer f(x) ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de x suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer d(f(x),1) ficar menor que \epsilon , é suficiente encontrar um valor de \delta pequeno o bastante e fazer escolhas de x que satisfaçam d(x,6)=|x-6|<\delta , ou seja, basta escolher x próximo de 6.

Analisando as condições[editar | editar código-fonte]

Crystal Clear app kaddressbook.png Sugestão de aprimoramento:

Remover esta seção "Analisando as condições", conforme este tópico da discussão

Seja a função f(x) , onde x\ \in\ \R . Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.

Sendo f(x) , definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor L , próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número \epsilon , delimitando uma região em f(x) de forma que as condições sejam suficientes para garantir que:

\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon

Ao tomarmos um subintervalo em f(x) com extensão \epsilon , o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor \delta correspondente para x . Consideramos que temos um número a , neste intervalo, para todo \delta que obtemos quando arbitramos um \epsilon na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em f(x) devemos ter um número x no domínio, tal que:

0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta

Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.

Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que L é o limite de f(x) quando \left(x\right) tende a \left(a\right) .

Definição[editar | editar código-fonte]

Adotamos a notação

\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L

para dizer que a função possui a seguinte propriedade:

\forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0 \quad | \quad \forall x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon

De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:

L é o limite de f(x) , quando x tende para a , ou que

f(x) tende L quando x tende para a

ou com símbolos:

f(x) \to L quando x \to a

\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L

Observação

Para aqueles que também se interessam por lógica e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do cálculo quantificacional clássico. Assim, dado a\ \in\ \R , diremos que \exists \lim_{x \to a}f(x) , quando:

\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land