Calculo III

Etapa I

Passo 1

História de como surgiram as Integrais e Conceito de Integrais Indefinidas, Definidas e Cálculo de Área.

No século 16, matemáticos estavam tentando criar uma nova matemática para resolver problemas físicos. No entanto, como no mundo real temos três dimensões mais o tempo, logo surgiram problemas com várias variáveis.

O astrônomo, matemático e físico, Johannes Kepler (1571--1630) fez uma grande contribuição para a ciência com as suas três leis do movimento planetário. Além dessa contribuição, montou o cenário para o surgimento do cálculo de várias variáveis.

Jean d'Alembert (1717--1783) foi o primeiro a desenvolver métodos para este tipo de cálculo. Por vezes, utilizou de trabalhos de Newton, L'Hospital e dos Bernoullis para estender seus conceitos. Sua maior contribuição foi o Traité de dynamique (1743), com o qual introduziu as derivadas parciais ao Cálculo.

Antes de d'Alembert, Pierre Fermat (1601-1665) havia desenvolvido um método para calcular as áreas das parábolas de ordem superior, utilizando de retângulos estreitos inscritos e circunscritos, para levar ao método da compressão. Porém, para sua decepção, nunca foi capaz de estender seu método para hipérboles de ordem superior;

Roberval explorou o Princípio de Cavalieri para encontrar a área sob um arco da ciclóide. Junto com Pascal, plotou as funções seno e cosseno e encontrou as respectivas áreas destas curvas (para o primeiro quadrante). Pascal aproximou integrais duplas e triplas usando somas triangulares e piramidais, e com elas, determinou o centro de gravidade de certos sólidos.

Newton (1642-1727) seguiu James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o extremo direito podia variar. Este truque lhe permitiu estender algumas fórmulas de cálculo de áreas de Wallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo.

Para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz (1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse: "represento a área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas... e assim represento em meu cálculo a área da figura por o y dx". Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latim differentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desde então.

O termo integral, como usamos em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667-1748) e publicado primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli (1654-1705). Principalmente como uma consequência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como derivadas "inversas". A área era apenas uma noção intuitiva. Embora Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a ideia de limite, ninguém nos séculos 18 e 19 teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. Em vez disso, com grande engenhosidade, muitas fórmulas de integração inteligentes foram desenvolvidas.

Finalmente, em 1859, Georg F. B. Riemann (1826-1866) sucedeu Dirichlet na Universidade de Göttingen. No processo de extensão do trabalho de Dirichlet sobre séries de Fourier, Riemann generalizou a definição de Cauchy da integral para funções arbitrárias no intervalo [a,b], e o limite das somas de Riemann é formulado, transformando-se então, na mais fácil definição de integral que temos até hoje.

Trabalhos posteriores de cientistas e matemáticos aplicados no final do século 19 e no século 20 refinaram resultados anteriores de várias variáveis e utilizaram estas técnicas em várias áreas de ciência e engenharia. O matemático italiano Guido Fubini (1879--1943) avançou ambos os aspectos aplicado e teórico do cálculo de várias variáveis. Ele provou o método de avaliar integrais iteradas que tem o seu nome e utilizou os resultados em mecânica e física.

Integral indefinida

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida:

se e somente se , ou, o que é a mesma coisa, .

Integral definida

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]:

Então:

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas representa a integral indefinida de: ∫▒〖(a³/3〗+3/a³+3/a) da ?

∫▒〖(a³/3〗+3/a³+3/a) da= 1/3 ∫▒〖a³ da+3∫▒1/a³〗 da+3∫▒1/a da

= 1/3*a^4/4-3/(2*a^2 )+3*ln⁡|a|+C = a^4/12-3/(2*a^2 )+3*ln⁡|a|+C

Resposta: b)F(a)= a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡|a|+C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

∫▒〖1000+50q dq= ∫▒〖1000 dq+50∫▒〖q dq〗〗〗

1000q+50q²/2=1000q+25q²+C

C(q) = 10.000 + 1000q + 25q²

Resposta: a) C(q)=10.000+1000q+25q²

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1*e0,07t. Qual alternativa responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

∫_2^4▒〖16,1*e^0,07t 〗=16,1∫_2^4▒〖e^u*du/0,07〗= 16,1/0,07 ∫_2^4▒〖e^(u