Calculo III

ETAPA 3: Aula- Tema: Cálculo de Área.

Passo 1: Façam as atividades apresentadas a seguir.

Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais. Pesquisem também em livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

Passo 2: Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Cálculo de Áreas

Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes a esta.

O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.

Cálculo de Areas e Integrais definidas

Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de idéias geométricas relativas a curvas. A derivada provém da construcão das tangentes a uma dada curva. O assunto dessas etapas são, a integral, e área origem no cálculo de área de uma região curva.

O problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicacões práticas, grande

interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem conhecidas desde esta ápoca, e atá mesmo problemas do cáculos de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, atá o século XVII,

quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Nos meados do s´eculo XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos (veja o projeto Arquimedes e a Quadratura da Parabola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava relacionado com o Cálculo Diferencial. Este importante resultado ´e denominado teorema fundamental do cálculo e é um dos resultados mais importantes de toda a matemática.

Como vimos, a derivada tem aplicacões que transcendem a sua origem geométrica. A fim de tornar clara a discussão sobre áreas, vamos introduzir na próxima secão uma notacão matemática padrão usada para abreviar somas que envolvem um n´umero muito grande de parcelas.

A notação de somatório: uma abreviação para somas

As somas dos n primeiros termos de uma uma progressão geométrica (PG) de razão r, bem como de uma progressão aritmética (PA) de razão d, podem ser escritas, respectivamente como:

S_n=a+ar+ar^(2 )+ ar^3+⋯+ar^((n-1))

T_n=a+(a+d)+ (a+2d)+ (a+(n-1)d)

Existe uma notação abreviada para escrever somas desse tipo, que além de tornar mais fácil escrevê-las, facilita enormemente várias manipulacões algébricas. Considere, por exemplo, a soma 〖 S〗_n=a_1+a_2+a_3+⋯+ a_n. Podemos escrevê-la usando a notacão abaixo:

S_n=∑_(i=1)^n▒a_1

(Lê-se: somatório de a_i para i variando de 1 até n.) Essa notacão significa que devemos substituir todos os valores inteiros de i, de 1 até n, na expressão envolvendo a_1 que segue no sinal Σ e então adicionar os resultados.

Note que a fórmula depois do sinal de somatório fornece o i-ésimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro,

para i = 2 o segundo e, assim por diante. Assim, as somas acima das progressões geométrica e aritmética podem ser reescritas como:

S_n=∑_(i=1)^n▒〖ar〗^((i-1 ))

E

T_n=∑_(i=0)^(n-1)▒〖( a+id )〗

Resumo:

O Cálculo Diferencial e Integral ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da da Álgebra e da Geometria (como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Desenvolvido por Isaac Newton Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações como o cálculo de limites, A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo os dois ramos do cálculo: o diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e transformar o cálculo em um método matemático sistemático.