Calculo III

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO. 2

RELATÓRIO 1 5

DESAFIO A 5

DESAFIO B 6

DESAFIO C 7

DESAFIO D 8

ETAPA 2. 9

Relatório 2 10

CONCLUSÃO. 12

BIBLIOGRAFIA. 13

INTRODUÇÃO.

O presente trabalho elaborado refere-se á busca pelo conhecimento do conceito de integrais, como também o surgimento de sua história ao longo dos séculos, despertando através do tempo a curiosidade de grandes profissionais de diversas áreas da ciência como: matemáticos, físicos, engenheiros entre outros.

Também iremos nos deparar com uma situação-desafio proposta neste trabalho, aonde uma empresa petrolífera contrata engenheiros para fazer o levantamento real, da quantidade de petróleo extraído da bacia de santos recentemente descobertos por profissionais da empresa. Para solucionarmos esse desafio, veremos nesta 1° etapa de nosso trabalho alguns exemplos de exercícios do tipo perguntas e respostas onde a única opção correta está posta entre 5 alternativas diferentes, divididas em a, b, c, d e (e) . A alternativa correta está associada com um algarismo no qual somado com os algarismos dos demais exercícios, nos darão o valor correto da quantidade mensal de petróleo extraído pela empresa petrolífera petrofuels. Para entendermos a resolução dos exercícios, os engenheiros de nosso grupo irão descrever passo a passo a resolução de cada exercício, para que possamos entender como conseguiram chegar a resposta correta e assim encontrar o algarismo certo que corresponde aos valores inicias da quantidade em litros do petróleo extraído pela empresa.

O objetivo do trabalho é conhecer um pouco mais sobre a história das integrais, e o seu desenvolvimento ao longo do tempo, começando desde os tempos mais antigos com os gregos passando por Arquimedes até chegar em Isaac Newton e Leibniz que foram os que deram a forma mais conhecida da Integral que conhecemos hoje em dia. Iremos Mostrar também através da situação-desafio, apresentada no trabalho os problemas que engenheiros e outros profissionais da área têm no dia a dia para enfrentarem, e como aplicam o conceito de integral para a solução da maior parte desses problemas, fazendo assim com que o leitor tome interesse pelo assunto abordado e venha assim a enriquecer o seu conhecimento com essa importante parte da ciência utilizada em todo o mundo.

Já Na segunda etapa do trabalho nossos engenheiros encontram outros desafios oferecidos nesta etapa e nos mostra outras aplicações da integrais assim como suas respectivas propriedades que as compõem, mostrando todo o desenvolvimento do cálculo empregado para resolução de cada exercício apresentado no trabalho.

História do Cálculo das Integrais ao longo do Tempo.

No início da história sobre os cálculos de integrais vamos ver que ela aparece junto a problemas de (quadratura) que nada mais é do que um termo que se usava na antiguidade para o processo de determinar áreas, e que foi um dos problemas mais difíceis enfrentados na antiguidade pelos gregos tentando assim fazer medições de superfícies a fim de encontrar suas respectivas áreas. Quando os geômetras do passado fizeram uma primeira tentativa de solucionar esse problema de fazer a medição de superfícies de áreas, eles procuravam relacionar essas áreas com a área do quadrado, por ser uma figura plana extremamente simples, buscavam assim encontrar um quadrado que tivesse a área igual á da figura em questão.

Mais á frente aproximadamente no ano de 225 a.C. Arquimedes desenvolveu um teorema para a quadratura da parábola ele descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por um barbante era igual á 4/3 da área de um triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes também descobriu uma soma com infinitos termos e provou assim o resultado obtido evitando com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas, esta foi assim então a primeira soma infinita que foi resolvida por Arquimedes. Outra das contribuições significativas de Arquimedes para a história foi utilizando o método da exaustão para encontrar a área do círculo, chegando assim às primeiras aproximações do número (π).

Avançando mais um pouco já no século XVI quando na Mecânica muitos matemáticos da época examinaram problemas que se descutiam em relação ao centro da gravidade. Em 1606 Luca Valerio publicou um estudo aonde usava o método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo. Mas com os matemáticos Fermat e Cavalieri e que se teve uma contribuição significativa para o nascimento do cálculo integral o trabalho publicado por Cavalieri conhecido como (geometria indivisibilibus continuorum nova) ele desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas aparentemente Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de segmentos indivisíveis ele mostrou assim através de seus métodos o que vemos hoje a integral como: ∫_0^a▒x^n dx = a^(n+1)/(n+1)•, já Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das chamadas até então “Parábolas Maiores” que eram curvas do tipo, y = kx^n, onde k > 0 é constante e n = 2, 3,4 e etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo y = kx^n, onde k > 0 e n = -2,-3,-4 e etc.

Mas foi com Isaac Newton e Leibniz que tivemos a ideia do cálculo de integrais no qual temos hoje em dia, segundo os estudiosos Newton teria desenvolvido o cálculo dez anos antes de Leibniz ele foi o responsável pelos métodos das fluxions (derivação) e fluents (integração). Para Newton, a integração era nada mais nada menos do que achar fluents para um dado fluxion confirmando assim que a integração é a inversa da derivação. Assim sendo ela sabia que a derivada da velocidade era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Leibniz diferente de Newton usava a integral como uma soma que parecia com a de Cavaliere. Daí então surge o sinal de integração ∫▒– parecido com a letra “S” mais longa para representar soma segundo ele representando assim a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas em seu