Calculo III

Determine todos os máximos locais, mínimos locais e pontos e sela das funções:

2. f(x,y) = x2 + 3xy + 3y2 - 6x + 3y – 6; 4. f(x,y) = 2xy – 5x2 – 2y2 + 4x – 4;

6. f(x,y) = y2 + xy – 2x – 2y + 2; 8. f(x,y) = 2xy – x2 – 2y2 + 3x + 4

10. f(xy) = 3x2 + 6xy + 7y2 – 2x + 4y; 12. f(x,y) = 4x2 – 6xy + 5y2 – 20x + 26y;

14. f(x,y) = x2 – 2xy + 2y2 – 2x + 2y + 1; 16. f(x,y) = 3 + 2x + 2y – 2x2 – 2xy – y2;

18. f(x,y) = x3 + 3xy + y3; 20. f(x,y) = 3y2 – 2y3 – 3x2;

22. f(x,y) = 8x3 + y3 + 6xy; 24. f(x,y) = 2x3 + 2y3 – 9x2 + 3y2 – 12y

26. f(x,y) = x4 + y4 + 4xy; 28. f(x,y) = 1/x + xy + 1/y .

Nos exercícios seguintes, calcule os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados. Para tanto, represente graficamente os domínios dados e analise os pontos interiores e os pontos de fronteira da região.

32. D(x,y) = x2 – xy + y2 + 1 na placa triangular fechada no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0 , y = 4 e y = x.

34.T(x,y) = x2 + xy + y2 – 6x na placa retangular tal que 0  x  5 e –3  y  3.

36. F(x,y) = 48xy – 32x3 – 24y2 na placa retangular tal que 0  x  1 e 0  y  1.

38. H(x,y) = 4x – 8xy + 2y + 1 na placa triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0 , y = 0 e x + y = 1.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

2. Valor mínimo local z = -63 em (15, -8);

4. Valor máximo local z = -29/9 em (4/9, 2/9);

6. Ponto de sela em (-2, 2, 2);

8. Valor máximo local z = 17/2 em (3, 3/2);

10. Valor mínimo local z = -31/12 em (13/12, -3/4);

12. Valor mínimo local z = -36 em (1, -2);

14. Valor mínimo local z = 0 em (1, 0);

16. Valor máximo local z = 4 em (0, 1);

18. Ponto de sela na origem e valor máximo local z = 1 em (-1, -1);

20. Ponto de sela na origem e valor máximo local z = 8 em (2, 2);

22. Ponto de sela na origem e valor máximo local z = 1 em (-1/2, -1);

24. Pontos de sela em (0, 1) e (3, -2), valor máximo local z = 20 em (0, -2) e valor mínimo local z = -34 em (0, 1);

26. Ponto de sela na origem e valor mínimo local z = -2 em (-1, 1) e (1, -1);

28. Valor mínimo local z = 3 em (1, 1);

32. Valor máximo absoluto z =