Calculo Numérico

INTRODUÇÃO:

Segundo Souza (2002), o algoritmo de eliminação de Gauss é o método mais usado para resolver sistemas de equações lineares.

Neste trabalho apresentamos o método chamado de Eliminação de Gauss para a resolução de sistemas lineares. Esse método é utilizado na obtenção dos valores do vetor {X}, na determinação da singularidade da matriz do sistema e, finalmente, na elaboração de estratégia de pivoteamento, utilizada para minimizar o erro relativo de determinadas situações. Também um exemplo resolvido para melhor visualização do método será apresentado ao final do trabalho. O algoritmo de eliminação de Gauss é o método mais usado para resolver sistemas de equações lineares.

HISTÓRICO

A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares.

A conhecida regra de Cramer é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seuTreatise of algebra.

O suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por Laplace, em Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção.

Já o alemão Jacobi fez a leitura dessa teoria da forma como atualmente se estuda.

OBJETIVO

O objetivo do método consiste em eliminar os elementos aij de forma a obter um sistema equivalente com uma matriz triangular superior. Tendo uma matriz triangular, basta aplicar substituições sucessivas para chegarmos à solução pretendida.

VANTAGENS x DESVANTAGENS

PASSO A PASSO

O método consiste em utilizar um número finito de transformações elementares e considerar elementos da diagonal principal (não nulos) chamados pivôs. Se, por exemplo, aii ≠ 0 , a linha do pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficam zerados.

O transformado de um elemento que não aparece na linha nem na coluna do pivô é igual a este elemento menos o produto contradiagonal dividido pelo pivô. O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nem na coluna anteriores.

O processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs. Depois, inicia-se o processo de substituição.

A solução de AX = B têm três etapas:

1ª etapa: Matriz completa

Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original.

2ª etapa: Triangulação

Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz.

3ª etapa: Retro-substituição

Consiste no cálculo dos componentes X1, X2, ..., Xn, solução de AX = B, a partir da solução do último componente (Xn), e então substitui regressivamente nas equações anteriores.

EXEMPLO

Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de x, y e z.

Primeiramente, vemos que o termo a11 é não-nulo e igual a 2. Vemos identificar cada equação como:

Etapa 1: Eliminando a incógnita x da segunda e terceira equações.

Primeiramente vamos eliminar a incógnita x da equação L2. Assim, devemos aplicar a operação: