Calculo Numérico

Introdução

Neste trabalho são apresentados e descritos os métodos numéricos usados na integração numérica. A alternativa do uso dos métodos numéricos em algumas situações é quando o cálculo numérico pode ser muito complexo ou não se conhece as funções tabeladas em um dado intervalo [a,b], assim recorrendo ao uso dos métodos numéricos para encontrar a aplicação necessária para cada cálculo de uma função.

Seja qual for à razão, quando não podemos calcular uma integral definida com uma primitiva recorremos aos métodos numéricos, como a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson.

Vamos apresentar o problema da integração numérica e da necessidade do uso dos métodos numéricos na resolução das mesmas.

Em muitos casos a determinação de uma primitiva de ƒ é muito difícil ou às vezes até impossível. Além disso, nos problemas práticos, quase sempre se conhece apenas uma tabela da função ƒ e para estes casos a idéia de primitiva carece de significado. Para esses casos os métodos de integração numérica são as ferramentas adequadas para determinar aproximações para os valores das integrais definidas.

Aproximações Trapezoidais

Quando não podemos determinar uma primitiva para uma função ƒ que precisamos integrar, dividimos o intervalo de integração, substituímos ƒ por um polinômio ajustado bem próximo a ƒ em cada subintervalo, integramos os polinômios e somamos os resultados para aproximar a integral de ƒ. Começamos com segmentos de reta que dão trapézios.

Figura 1: Regra do Trapézio

Como mostra na figura 1, se [a, b] for divido em n subintervalos de igual comprimento h=(b-a)/n, o gráfico de ƒ em [a, b] pode ser aproximado por um segmento de reta em cada subintervalo.

A região entre a curva e o eixo x é então aproximada pelos trapézios, a área de cada trapézio sendo o comprimento de sua “altura” horizontal vezes a média de suas duas “bases” verticais. Adicionamos as áreas dos trapézios, contando a área acima do eixo como positiva e a área abaixo do eixo como negativa.

Figura 2: Regra do trapézio

Na Regra do Trapézio usa-se o T para estimar a integral de ƒ de a até b. Para fazer uma aproximação para ∫_a^b▒f(x)dx, use:

Figura 3: Integral de aproximação onde os “y” são os valores de ƒ nos pontos de divisão.

Erro na Aproximação Trapezoidal

A magnitude de erro na aproximação trapezoidal diminuirá quando o tamanho do passo h decrescer, porque os trapézios se ajustam melhor à curva conforme seu numero aumenta. Um teorema do cálculo avançado garante que esse será o caso se ƒ tiver segunda derivada contínua.

Figura 4: Fórmula do Calculo Avançado

Aproximações Usando Parábola

A Regra do Trapézio fornece aproximação razoável para a integral de uma função contínua em um intervalo fechado. Mesmo assim é mais eficiente e fornece uma aproximação melhor para pequenos valores de n, o que a torna um algoritmo mais rápido para integrações numéricas.

A única falha da Regra do Trapézio parece ser que ela depende de segmentos de retas para fazer aproximações para arcos curvos. Conhecido como Regra de Simpson, o algoritmo que usa parábolas para fazer aproximação em ∫_a^b▒〖f(x) 〗 dx baseia-se em fazer ƒ com polinômios quadráticos em vez de lineares.