Calculo1

Passo – 5

Logaritmos são utilizados com frequência, quando temos de resolver problemas com expoentes desconhecidos, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 1

Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$ 2,00 que dobraria a cada dia de atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais?

Solução:

A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja:

1 dia de atraso

2 dias de atraso

3 dias de atraso

x = 1 => multa = 21 = 2

x = 2 => multa = 2² = 4

x = 3 => multa = 2³ = 8

E assim por diante.

Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica. Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação:

2x= 1 000 000

Para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log 2x = log 1 000 000

log 2x = log 106

Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência:

x · log 2 = 6 · log 10

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 (veja a tabela), temos:

x · 0,301 = 6

x = 60,301 = 19, 93

Assim, concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

EXEMPLO 2

Se log x = 1,6395, determine x.

Solução:

Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a característica e a mantissa. A característica é o número que está antes da vírgula e a mantissa é o número que aparece depois da vírgula. A tábua de logaritmos apresentada na aula passada nos dá apenas as mantissas, mas a característica nos dá a seguinte informação:

NÚMEROS | CARACTERÍSTICA |

entre 1 e 9 | 0 |

entre 10 e 99 | 1 |

entre 100 e 999 | 2 |

entre 1000 e 9999 | 3 |

Como log x = 1,6395 tem característica 1. Então, sabemos que o número x está entre 10 e 99. Assim, procuramos a mantissa 6395 na tábua.

Uma vez encontrada a mantissa, vemos que na coluna da esquerda está o número 43 e na linha de cima o número 6. Juntando esses números, formamos o número 436, faltando apenas colocar a vírgula no lugar certo. Como o nosso número está entre 10 e 99, então x = 43,6.

EXEMPLO 3

Um construtor deseja fazer um reservatório de água para conter 5000 litros e que tenha a forma de um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo?

Solução:

Um cubo é uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais. O volume de uma caixa é o produto de suas dimensões: (comprimento x largura x altura). Logo, se o lado do cubo mede “a”, seu volume será a · a · a = a³. Por outro lado, sabemos que 1m³ é igual a 1000 litros. Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume será 5m³. Devemos então resolver a equação:

a³ = 5

O valor de “a” será a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e, em seguida, a propriedade da potência temos:

log a³ = log 5

3 · log a = log 5

3 · log a = 0,699

log a = 0,6993

log a = 0,233

Como agora sabemos que o logaritmo de “a” é igual a 0,233, vamos procurar na tábua de logaritmos a mantissa 233.

Encontrando a mantissa 2330, verificamos que à esquerda existe o número 17 e acima o número 1. Juntando esses algarismos formamos o número 171. Falta apenas colocar a vírgula no lugar correto. Repare que calculamos log a = 0,233. Esse número possui característica 0, ou seja, o valor de a está entre 1 e 9. Portanto, o valor do lado do cubo é 1,71 m.

Dessa forma, o construtor saberá que construindo um reservatório de água com a forma de um cubo de 1,71 m de lado, ele terá a capacidade de conter 5000 litros de água.

EXEMPLO 4

Em certo país, a taxa de inflação é igual todos os meses, mas no final de um ano verificou-se que os preços dobraram. Qual é a taxa mensal de inflação nesse país?

Solução:

Suponhamos que a taxa mensal de inflação seja i. Se hoje um produto custa x, custará daqui a um mês x (1 + i). Dentro de dois meses custará x (1 + i)2 e assim por diante. No final de um ano, esse preço será x (1 + i)12. Como sabemos que o preço será também o dobro do valor inicial, temos a equação:

x (1 + i)12 = 2x

ou

(1 + i)12 = 2

Para calcular o valor da taxa i, aplicamos o logaritmo aos dois lados da nossa equação:

log (1 + i)12 = log2

12 · log (1 + i) = 0,301

log (1 + i) = 0,30112

log (1 + i) = 0,0251

Na tabela não encontramos a mantissa 0251, mas encontramos 0253 (que é um valor próximo). Com essa mantissa formamos o número 107. Como a característica