Calcuço Numerico

Processos Estacionários.

Um método e iterativo quando fornece uma sequencia de aproximastes da solução, cada uma das quais obtidas das anteriores pela repetição do mesmo tipo de processo.

Um método iterativo e estacionário se cada aproximam-te e obtido do anterior sempre pelo mesmo processo. Quando os processos variam de passo para passo mas se repetem ciclicamente de s em s passos dizemos que o processo e s-cíclico. Agrupando-se os s passos de cada ciclo num único passo composto, obtemos um método estacionário. No caso de métodos iterativos precisamos sempre saber se a sequencia que estamos obtendo esta

convergindo ou não para a solução desejada. Além disso, precisamos sempre ter em mente o significado de convergência. Suponha então, que o sistema Ax = b tenha sido transformado num sistema equivalente da forma:

x = B x + g

( por exemplo: B = I − A e g = b), de maneira que a solução ̄̄x de seja, também, solução de

Ax = b.

A convergência da sequencia x(k) para a solução x de Ax = b e estudada introduzindo-se o vetor

Erro:

e(k) = x − x(k)

Subtraindo-se a membro de obtemos:

x − x(k) = B (x − x(k−1) )

Método de Jacobi-Richardson

Considere o sistema linear Ax = b de ordem n, determinado, isto ´e:

a11 x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . . . . .

an1x1 + an2x2 + . . . + ann xn = bn

A matriz A do sistema pode ser decomposta na forma:

A = L + D + R ,

Método de Jacobi-Richardson.

Comparando com vemos que a matriz de iteração do método de Jacobi-Richardson ´e :

−D−1(L + R).

Por hipótese aii ≠ 0, pois estamos supondo det(D) ≠ 0. Podemos então, antes de decompor a matriz A em L + D + R, dividir cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal, resultando assim:

A*= L*+ I + R*

Onde A* e a matriz obtida de A apos a divisão, I e a matriz identidade.

Assim, o processo iterativo pode ser escrito como:

x(k+1) = −(L*+ R*) x(k) + b*

Vemos por que as componentes de xk+1 podem ser calculadas sucessivamente sem necessidade de se calcular D−1, e a matriz de iteração do método de Jacobi-Richardson ´e dada por: −(L_ + R_).

Critérios de Convergência Fazendo B = −(L_+R_) no critério geral de convergência, e escolhendo sucessivamente as normas k • k1 e k • k1 obtemos critérios suficientes de convergência para o método de Jacobi-Richardson.

Assim o método de Jacobi-Richardson converge se:

a) o critério das linhas for satisfeito, isto ´e, se:

Max1≤i≤n =∑_█(j=1@j≠i)^n▒〖(█(!a*@ij))<1〗

b) o critério das colunas for satisfeito, isto ´e, se:

Max1≤i≤n =∑_█(j=1@j≠i)^n▒〖(█(!a*@ij))<1〗

Solução: Em primeiro lugar devemos testar se temos garantia de convergência. Temos que a matriz dos coeficientes e estritamente diagonalmente dominante, pois satisfaz . De fato:

|a12| + |a13| = |2| + |1| < |10| = |a11| ,

|a21| + |a23| = |1| + |1| < |5| = |a22| ,

|a31| + |a32| = |2| + |3| < |10| = |a33| .

Portanto podemos garantir que o processo de Jacobi-Richardson aplicado ao sistema dado será convergente. Dividindo então cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal obtemos:

x1 + 0.2x2 + 0.1x3 = 0.7

0.2x1 + x2 + 0.2x3 = −1.6

0.2x1 + 0.3x2 + x3 = 0.6

Apesar de não ser necessário, pois ja sabemos que o processo de Jacobi-Richardson será convergente, por se tratar de exemplo, verificaremos também o critério das linhas e o critério das colunas. Assim, para verificar o critério das linhas, calculamos:

Solução: Em primeiro lugar devemos testar se temos garantia de convergência. Temos que a matriz dos coeficientes e estritamente diagonalmente dominante, pois satisfaz (5.9). De fato:

|a12| + |a13| = |2| + |1| < |10| = |a11| ,

|a21| + |a23| = |1| + |1| < |5| = |a22| ,

|a31| + |a32| = |2| + |3| < |10| = |a33| .

Portanto podemos garantir que o processo de Jacobi-Richardson aplicado ao sistema dado será convergente. Dividindo então cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal obtemos:

x1 + 0.2x2 + 0.1x3 = 0.7

0.2x1 + x2 + 0.2x3 = −1.6

0.2x1 + 0.3x2 + x3 = 0.6

Apesar de não ser necessário, pois já sabemos que o processo de Jacobi-Richardson será convergente, por se tratar de exemplo, verificaremos também o critério das linhas e o critério das colunas.

Método de Gauss-Seidel.

Suponhamos como foi feito para o método de Jacobi-Richardson, que o sistema linear Ax = b seja escrito na forma:

(L* + I + R*)x = b*

Transformamos então esse sistema como se segue:

(L*+ I)x = −R* x + b*

x = −(L* + I)−1R*x + (L* + I)−1b* .

que esta na forma com B = −(L* + I)−1R* e g = (L* + I)−1b*