Cauculo 2

Integral

A integral surgiu com a necessidade de encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. O Cálculo de integrais é um ramo muito importante da Matemática, é desenvolvido a partir da álgebra e da geometria e tem como principal aplicação a taxas de variação das grandezas. Com as integrais, podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, no cálculo de integrais também, se facilita muito o estudo de áreas.

A integral definida {f(x)} no intervalo [a,b] é igual ao limite do somátório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por \Delta x. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de {f(x)} no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido.

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida:

se e somente se , ou, o que é a mesma coisa,

PASSO 2

DESAFIO A

1)Qual das alternativas representa a integral indefinida de

 A alternativa correta é a alternativa (b).

DESAFIO B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e umcusto marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

 A alternativa correta é a alternativa (a).

DESAFIO C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Para 1992

Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.2=

C2=18,52 bilhões

Para 1994

Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.4=

C2=21,30 bilhões

Então, 18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

 A alternativa correta é a alternativa (c)

DESAFIO D

A área sob a curva é dada por:

Então,

-32ex2dx

u=x2

du= ddxx.2-x.ddx222=24dx=

du=12dx=

2du=dx

-32eu2.du=

2-32eudu=2.ex22-3=2.e22-2.e-32=5,43-0,44=4,99

=4,99