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Cáuculo Limites

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Por:   •  30/3/2014  •  1.347 Palavras (6 Páginas)  •  276 Visualizações

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SUMÁRIO

Capítulo 1 – Limite e continuidade 3

1.1. Limites: Um conceito intuitivo 3

1.2. Limites: Técnicas para calcular 19

1.3. Limites: Uma definição matemática 39

1.4. Continuidade 52

1.5. Limites e continuidade das funções trigonométricas 65

Exercícios propostos (Capítulo 1) 76

Capítulo 2 – A derivada 79

2.1. A reta tangente e a derivada 79

2.2. Técnicas de diferenciação 89

2.3. Derivada de funções trigonométricas 101

2.4. Regra da cadeia 107

2.5. Diferenciais e aproximação linear local 110

Exercícios propostos (Capítulo 2) 117

Capítulo 3 – Funções Logarítmicas e Exponenciais 122

3.1. Funções inversas 122

3.2. Diferenciação implícita 134

3.3. Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 143

3.4. Derivada das funções inversas trigonométricas e a Regra

de L´Hopital 159

Exercícios propostos (Capítulo 3) 170

Capítulo 4 – Aplicações da derivada 175

4.1. Crescimento, decrescimento e concavidade 175

4.2. Extremos relativos 185

4.3. Extremos absolutos e gráficos 194

4.4. Problemas de otimização 211

Exercícios propostos (Capítulo 4) 226

Respostas dos exercícios propostos 230

Referências Bibliográficas 231

Curso de Cálculo I – Capítulo 1

Prof. Marcus V. S. Rodrigues

3

CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE

1.1 Limites: Um conceito intuitivo

Dois problemas geométricos estimularam o desenvolvimento do

Cálculo: achar a área de regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em

ambos os casos se requerem um processo de limite para obter a solução.

Porém, o processo de limite ocorre em várias situações, sendo o conceito de

limite o alicerce sobre o qual todos os conceitos de cálculo estão baseados.

Em geral, pode-se dizer que o uso básico de limites é o de descrever

o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima

de certo valor. Por exemplo, seja a função;

( )

2 2

2

f x x x

x

− −

=

Esta função não está definida para x =2 , porém, pode-se analisar o

seu comportamento nas proximidades de x =2 . Isto é, interessa-se o

comportamento de f para valores de x próximos a 2, porém não para x =2 .

A aproximação a 2 pode-se ocorrer de duas formas, por valores

menores do que 2 , isto é pela esquerda, e por valores maiores do que 2 , isto

é pela direita. Desde modo pode-se construir a tabela 1.1, apresentada logo a

seguir.

Tabela 1.1

X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1

f(x) 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1

Para reforçar este comportamento pode-se analisar, também, o

gráfico da função que é apresentado na figura 1.1.

Curso de Cálculo I – Capítulo 1

Prof. Marcus V. S. Rodrigues

4

Figura 1.1

Analisando a tabela 1.1 e a figura 1.1 fica evidente que os valores de

f (x) tornam-se cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver mais

próximo de 2 , por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Pode-se

também, tornar os valores de f (x) o mais próximo que se deseje de 3,

fazendo x suficientemente próximo de 2.

Definição 1.1.1. Se os valores de f (x) puderem ser definidos tão próximos

quanto queira de um número L , fazendo x suficientemente próximo de p

(porém não igual a p ), ou seja; f (x)→L quando x→p , então, escreve-se:

lim ( )

x p

f x L

= (1.1)

Neste caso, tem-se que

2 2 3

2

x x

x

− −

quando x→2, então,

escreve-se:

2

2

lim 2 3

x 2

x x

→ x

− −

=

...

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