Cinematica Vetorial

Cinemática Vetorial

Um móvel desloca-se segundo a equação horária da velocidade:

→ → →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j [S.I.]; no instante t = 3s, o móvel encontra-se na origem, pedem-se:

a) o vetor posição em função do tempo;

Para determinarmos o vetor posição em função do tempo devemos integrar a equação horária da velocidade, que pode-se integrar cada projeção separadamente ou juntas, no primeiro caso iremos integrar cada projeção separadamente e depois juntos, primeiramente iremos integrar a projeção em i, então temos:

→ →

v(t) = (5.t + 10). i

→ →

r(t) = 5.t² + 10.t + C

2

→ →

r(t) = 2,5.t² + 10.t + C

→

Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.

→ →

r(3) = 2,5.t² + 10.t + C

→

0 = 2,5.(3)² + 10.(3) + C

→

C = -22,5 - 30

→

C = - 52,5

Portanto:

→ →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i

→

Integral projeção j:

→ →

v(t) = 10.t².j

→ →

r(t) = 10.t³ + C

3

→ →

r(t) = 3,33.t³ + C

→

Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.

→ →

r(3) = 3,33.t³ + C

→

0 = 3,33.(3)³ + C

→

C = -90

Portanto:

→ →

r(t) = (3,33.t³ - 90)j

Juntando as equações integradas temos:

→ → →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j

Calculando diretamente:

→ → →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j

→ → → →

r(t) = ( 5.t² + 10.t).i +( 10.t³).j + C

2 3

→ → → →

r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C

→

Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.

→ → → →

r(3) = (2,5.3² + 10.3). i + (3,33.3³)j + C

→ → →

0 = (22,5 + 30)i + (90)j + C

→ → →

C = (-52,5)i + (-90)j

Substituindo:

→ → → →

r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C

→ → → → →

r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + (-52,5)i + (-90)j

Somando as projeções iguais temos:

→ → →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j

b) o vetor posição nos instantes 0 e 10s;

Para acharmos a posição nos instantes pedidos basta substituirmos o "t" na equação abaixo:

Para t = 0s:

→ → →

r(0) = (2,5.(0)² + 10.(0) -52,5)i + (3,33.(0)³ - 90)j

v → →

r(0) = (-52,5i - 90j) (m)

Para t =