CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 1

VETORES

A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua

formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e

início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje

foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feito

para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foi

professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamente

dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas

dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu

trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre

análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados

Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na

Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se

seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na

Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemática

aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco.

1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial

Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas

escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são

utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar

com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições,

também chamado de Cálculo Vetorial.

Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário

caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.

Exemplos de grandezas escalares:

1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado

corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o

módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.

2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado

ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde,

36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida.

Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário

caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido.

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Exemplos de grandezas vetoriais:

1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa

intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido.

Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com

sentido para direita.

2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo

possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa

velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo:

uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido

para cima.

2 Vetor

Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço

e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B

(a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo

(A,A) é chamado segmento orientado nulo.

Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento

orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade.

Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos:

módulo, direção e sentido.

20N

12 m/s

B

A

B

A

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(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B)

que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB .

(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se

prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade

através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção.

(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta"