Geometria Analítica e Calculo Vetorial .

Geometria Analitica e Calculo Vetorial

NOME DA UNIDADE: UNIVERSIDADE DO GRANDE ABC – ANHANGUERA

UNIDADE 3

CURSO: MATEMÁTICA - LICENCIATURA

NOME DOS ALUNOS PARTICIPANTES                                        RA

TÍTULO DAATIVIDADE: ATPS – ETAPAS 1,2,3,4

NOME DO PROFESSOR (A): Emi Minissini

MUNICÍPIO: SANTO ANDRÉ – SÃO PAULO

                                       SANTO ANDRÉ – SÃO PAULO

                                                     

                                                 2014

UNIVERSIDADE DO GRANDE ABC – ANHANGUERA

ATPS

TRABALHO DESENVOLVIDO NA DISCIPLINA FÍSICA APRESENTADO À UNIVERSIDADE DO GRANDE ABC – ANHANGUERA EDUCACIONAL COMO EXIGÊNCIA PARA A AVALIAÇÃO NA ATPS, SOB ORIENTAÇÃO DA PROFESSORA (Emi).

SANTO ANDRÉ – SÃO PAULO

2014

Etapa 1:

Passo 1

Conceitos teóricos:

.Vetor

Representa o conjunto de segmentos orientados de reta que tem o mesmo modulo a mesma direçao e o mesmo sentido.

Representaçao de vetores:

 Se o vetor AB por um segmento de reta orientado de reta com origem em A e extremidade em B. O comprimento desse segmento representa o modulo do vetor em uma escala de representaçao grafica. Se o vetor AB estiver representando uma grandeza vetorial, podemos usar a  notaçao V ( em que se usa a letra que representa a grandeza com uma seta em cima, sendo a seta sempre horizontal e para direita).

[pic 2]

As caracteristicas que definem um vetor sâo:

Modulo, direçao e sentido

A definição de modulo de um vetor é a medida que obtemos quando comparamos um vetor com outro de mesma espécie, considerado como unidade. Por exemplo: o modulo da velocidade de um carro em certo instante é de 50Km/h, se o vetorvelocidade adotado como unitário estiver contido 50 vezes no vetorconsiderado.

Define-se direção de um vetor sendo a reta suporte do segmentoorientado que o representa para saber a direção de um vetor, bastaq saber a direcao da sua ret suporte. Por exemplo horizontal ou vertical.

O sentido de um vetor é para aponta sua extremidade. Por exemplo: esquerda para direita.

Ou seja:

Modulo: 1 cm

Sentido: Para a esquerda ou direita

Direção: Horizontal ou vertical

Porem quando pelo menos uma das características citadas anteriormente é diferente, dizemos que os vetores são diferentes. Chamamos de vetor oposto de umvetor B o vetor –B, que possui o mesmo modulo, mesma direção, porém seu sentido é oposto ao de B.

EXEMPLO:

Dados os vetores[pic 3]e[pic 4], determine o vetor diferença[pic 5]= [pic 6]-[pic 7]e calcule o seu modulo. Tendo os dados seguinte:

 |[pic 8]| = 4 cm 

  |[pic 9]| = 3 cm
  cos 60º = 0,5

Resulução:

Calcular o Módulo

d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º

d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5

d ² = 16 + 9 -12

d ² = 13

d = 3,7 cm

.Operaçoes com vetores

As operações com vetores dependem da direção e do sentido entre eles. Para cada caso, utilizamos uma equação diferente.Para realizar operações com vetores na mesma direção, devemos inicialmente estabelecer um sentido como positivo e outro como negativo. Normalmente utilizamos como positivo o vetor que “aponta” para a direita, já o negativo é o vetor que aponta para a esquerda. Após convencionar os sinais, somamos algebricamente os seus módulos: Veja a seguir as principais operações que podem ser realizadas com vetores:

Adiçao de vetores:

Podemos somar dois vetor ou mais, para obter um valor.

Regras do poligno: Ligam –se os vetores origem com a extremidade. O vetor soma é que tem a origem na origem do primeiro vetor extremidade na extremidade do ultimo vetor.

[pic 10]

Subtração de vetores:

Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro.

[pic 11]

Produto escalar

È representado por U.V Ou pela  < U.V>

Sejam os vetores V1 e V2 produto escalar V1 . V2

V1 = (X1, Y1, Z1)           V2 = (X2, Y2, Z2)

V1.V2 = (X1, Y1, Z1).(X2, Y2, Z2)

X1.X2+Y1.Y2+Z1.Z2

Onde

V1.V2>0 forma um Angulo agudo

[pic 12]

V1.V2<0 forma um angulo obtuso

[pic 13]

V1.V2 =0 formando um angulo reto

[pic 14]

Vetor ortogonal

È quando seu produto vale U.V=0

 Outras Propriedades

U.V= V.U e U.U=│U│²

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v,como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos: 

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

   

.Calculo do angulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

[pic 15]

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

[pic 16]

desde que nenhum deles seja nulo.

Passo 2

Lista de Exercicios

1. Dados os vetores U = ( 3,2,1) e V =(-1,-4,-1). Determine (U+V) . (2U-V).

Resolução

(3,2,1)+(-1,-4,-1) . (2 .( 3,2,1)-(-1,-4,-1)

(2,-2,0) . (6,4,2)-(-1,-4,-1)

(2,-2,0).(7,8,3)

14-16+0= (-2)<0  o angulo formado é um angulo obtuso