Cálculo Diferencial II

AULA 02

1ª QUESTÃO

(A) 2. Verifique se a função dada é contínua no valor indicado:

(c)

R.:

LimT-1= (T-1)_______ = 1___= 1_

T→1 (T³-1) = (T-1).(T² +T+1) T² +T+1 3

LimT-1 = 1-1 = 0

T→ 1

Lim T-1 = 1-1 = 0

T+1

Função é continua no ponto T=1.

(d)

R.:

Lim senV = 1 Pelo Teorema do Confronto

V

Função contínua no ponto V=0.

(B)3. Seja C a curva dada pela função e o ponto em que

(a) Calcule o vetor tangente a C em ;

F´(T) = (- 4 sen 2T, 4cos 2T)

F´(π¦2)= -4sen 2 π , -4 cos 2.π

2 2

F´(π¦2) = (-4sen π, 4 cos π ) = (0,4)

(b) Verifique que é constante e encontre o vetor normal a C em ;

| F´(T)| = √(x²+y² v) =

√((-4sen 2 T)^2+ (4 cos⁡〖2T)²=〗 )

√(16 (sen²2T+cos⁡²2t ) =

√16 = 4

F´ (T) = ( -4 sen 2T , 4cos 2T)

F´´ (T) = ( -8 cos2T, 8-sen 2T)

F´´ (T) = -8cos2T,-8sen2T

F´´(π¦2)= -8cos2π, -8 sen2π

2 2

F´´(π¦2)= (-8cosπ , -8senπ)

F´´(π¦2)= (2,0)

(c) Represente geometricamente C e os vetores tangente e normal a C em

x² = (2cos 2T)²

y² = (2sen 2T)²

x² +y² = 4 {█(R=2@C(0,0))┤

x²+y²=2²

F (π/2) = ( 2.cos 2. π/2. 2 sen 2 π/2)

F (π/2) = (2cos π, 2sen π) = (-2,0)

2ª QUESTÃO

(A) 5. O arco da hélice cilíndrica, definido por com

R.:

∫_b^a▒〖|f^' (t) |dt=〗

h^'=(t)=(2 sen u,-2 cos u,2u)

|h^'=(t)|=√((2 sen u)²+(-2 cos u)^2+(2u)²)

|h^'=(t)|=√(4 sen u²+4cos u²+4u²)

|h^'=(t)|=√(4 (sen u^2+cos u^2+u^2 ) )

|h^'=(t)|=2√( 〖1+u〗^2 )

l= ∫_0^(3/4)▒〖2 √(1+u²)〗 du = 2 ∫_0^(3/4)▒√(1+u²) du

Obs: ∫▒〖√(1+u²) 〗 du=u/2 √(1+u²)+1/2 ln (u+ √(1+u^2 ))

l= 2[u/2 √(1+u^2 )+ln(u+ √(1+u^2 )) ]|█(3/4@0)┤

l=3/4 √(1+(3/4)^2 )+ln(3/4+ √(1+(3/4)^2 ))

l=3/4 √(1+9/16 )+ln(3/4+ √(1+9/16))

l=3/4 √(25/16 )+ln(3/4+ √(25/16))

l=3/4*5/4+ln(3/4+5/4)

l=15/16+ln2

Calcule o comprimento do arco da curva dada, correspondente a x no intervalo indicado:

(B) 13. e

R.:

Obs: l ∫_b^a▒√(1+[f^' (x) ]²) dx

f^' (x)=2x-1/8x

[f^' (x) ]^2=(2x-1/8x)^2=4x²-2*2x*1/8x+(1/8x)^2

=4x²- 1/2+1/64x²

l= ∫_1^(e^2)▒√(1+4x²-1/2+1/(64x^2 )) dx= ∫_1^(e^2)▒√(4x²+1/2+1/(64x^2 )) dx

= ∫_1^(e^2)▒√((2x+1/8x)^2 ) dx= ∫_1^(e^2)▒(2x+1/8x) dx

∫_1^(e^2)▒2x dx+∫_1^(e^2)▒dx/8x=(2x^2)/2+1/8 lnx=

(x²+ln √(8&x))|█(e^2@1)┤=(e^2 )²+ln √(8&e^2 )-(1^2+ln √(8&1))

= e^4+ln e^(2/8)-1-1〖ln〗^(1/8)

= e^4+2/8-1=e^4+(-3)/4

(C) 14. e

R.:

f^' (x)=1/cosx*(-sen x)

f^' (x)=(-senx)/cosx=-tgx

[f^' (x) ]²=(-tgx)²=tg² x

l=∫_0^(π/6)▒〖√(tg^2 x) 〗 dx=l=∫_0^(π/6)▒〖√sec²x 〗 dx

∫_0^(π/6)▒〖secx 〗 dx=ln (sec x+tgx)|█(π/6@0)┤

=ln (sec π/6+tg π/6)

=ln (sec π/6+tg π/6)=

=ln (2/√3+√3/3)

=ln ((3√3)/3)=ln √3

3ª QUESTÃO

Determine a parametrização pelo comprimento de arco para a curva definida pela função dada:

(A) 21.

R.:

f^' (t)=(2,-2)

|f^' (t) |= √(2²+(-2)^2 )=√(4+4)

= √8=2√2

l= ∫_0^t▒|f^' (t) | dt=∫_0^t▒〖2√2〗 dt

l= 2√2 |█(t@0)┤=2t√2

l=2t√2 →t=l/(2√2)

t(l)=(2*l/(2√2)-1,-2*l/(2√2)+1)

t(l)=(l/√2-1,-l/√2+1)

(B) 23.

R.:

h^' (u)=(-a sen u,a cos u,b)

|h^' (u)|=√((-a sen u)^2+(a cos u)^2+(b)^2 )

|h^' (u)|=√(a² sen² u+a²cos² u+b²)

|h^' (u)|=√(a²+b²)

l=∫_0^u▒√(a²+b²) du=u √(a²+b²) |█(u@0)┤

l=u √(a²+b²) →u=1/√(a^2+b^2 )

h(x)=( a cos l/√(a^2+b^2 ),a sen l/√(a^2+b^2 ),b/√(a^2+b^2 ))

4ª QUESTÃO

(A) 3. Encontre a equação cartesiana da circunferência osculatriz de cada uma das curvas definidas pelas funções dadas, no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz:

(a)

R.:

Como f(t)∈R^2, temos que o plano oscular é próprio R^2.

Para encontrarmos a circunferência oscultariz devemos encontrar o raio e seu centro.

Temos que ρ(t)=1/k(t) =1/|K(t) | ,onde K(t)=(T^' (t))/|f^' (t) |

Calculando temos:

f^' (t)=(2,-2t)→|f^' (t) |=|(2,2t)|→√(4(1+t^2))→2√((1+t^2))

T(t)=(f^' (t))/|f^' (t) | →(2,2t)/(2√((1+t^2 ) ))→1/√(1+t^2 ).(1,t)→

T^' (t)=[(-t)/√((1+t^2 )^3 ) ;1/√((1+t^2 )^3 )]→logo temos que

k(t)=|K(t) |=√(1/(4(1+t^2 )^3 ))→√(1+t^2 )/(2(1+t^2 )^2 )→

Por outro lado, como P=(2,0), temos que P=f(1). Assim, no pontoP

p(1)=1/k(1) =8/√2

O centro é dado pelo vetor normal.

N(1)=K(1)/k(1) =[(-1/8,1/8)/(√2/8)]=(-1/√2,1/√2)

Logo, a reta normal é dada por r(t)=(2,0)+tN(1), como N é unitário o centro é dado por:

r(ρ(1) )=(2,0)+ρ(1)N(1)=(-2,4)

Portanto, sua representação geométrica será:

(B) 9. Seja C o gráfico da equação dada no plano XY. Determine o ponto em que C tem curvatura máxima e encontre uma equação da circunferência osculatriz de C no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz:

(c) e

R.:

f^' (x)= y^'= e^x, logo substituindo na equação temos:

k= |e^x |/[1+ (e^x )^2 ]^(3⁄2) , temos que o raio é dado por ρ= 1/k= [1+ (e^x )^2 ]^(3⁄2)/|e^x |

em x=0, temos que ρ= [1+ (e^0 )^2 ]^(3⁄2)/|e^0 | = 2^(3⁄2)=2.2^(1/2)=2√2

logo temos (x-x_0 )^2+(y-y_0 )^2=(r^2 ), dados o centro C=(-2,3), assim temos a circunferência:

[(x-(-2) )^2+(y-(+3) )^2=(2√2)^2 ]→(x+2)^2+(y-3)^2=8

e^x, parametrizando temos:

(t,t^x )→α^' (t)=(〖1,1〗^x ) e α^''=(0,0)

|(|α^' (t).α^'' (t) | )|=|(|(〖1,1〗^x ).(0,0) | )|=

|(|0,0,1| )|,como v(t)=|(|〖1,1〗^x | )|=√(1+1^2x )=

√2 k(t)=1/v(t) =1/√2, racionalizando o denominador temos:

k(t)=1/√2.√2/√2=√2/2

Como temos que a inversa de t=-ln⁡(v(t) ). Logo temos como curvatura máxima

(-ln⁡v(t),k(t) )=(-ln⁡√2,√2/2)

A circunferência osculatriz é ( x+2)² + ( y -3)² = 8

5ª QUESTÃO

(A) 17. Use o exercício anterior, para mostrar que as curvas em com curvatura constante, são retas ou circunferências.

R.:

Quando questionado para dar um exemplo de uma curva, o leitor pode dar uma linha reta, por exemplo y-2x=1, ou uma circunferência, por exemplo x^2+y^2=1, ou talvez uma parábola, por exemplo y –x² =0.

y-2x=1 y-x^2=0 x^2+y^2=1

Todas estas curvas descritas por meio da sala equação cartesiana f(x,y)=c. Onde f é uma função de x e y, e c uma constante. Deste ponto de vista uma curva é um conjunto de pontos.

c={(x,y)ϵ ├ R^2 ┤|f(x,y)=c}

Estes exemplos são dados de curvas no plano R^2, mas podemos também considerar curas em R^3. Por exemplo, o eixoOX em R^3 é a reta dada por:

{(x,y,z) ϵ ├ R^3 ┤| y=z=0} e mais geralmente, uma curva em R^3pode ser definida por um par de equações:

f_1=(x,y,z)=C_(1,) 〖 f〗_2 (x,y,z)=C_2

(B) 19. Considere a curva C definida por Encontre:

(a) O triedro de Frenet-Serret e o raio de curvatura de C num ponto qualquer;

R.:

Sendo f(t)=(sen t,cos t,t) e f^' (t)=(cos⁡t,-sen t,1) temos que

|f^' (t) |=√((cos⁡t )^2+(-sen t)^2+1^2 )=√2 T(t)=1/|f^' (t) | .f^' (t)→1/√2 (cos⁡t,-sen t,1)

É o vetor unitário. Então T^' (t)=1/√2 (cos⁡t,-sen t,1), o vetor a curvatura é dado por:

k(t)=1/|f^' (t) | T^' (t)=1/√2.1/√2 (cos⁡t,-sen t,1)

k(t)=((cos⁡t,-sen t,1))/2 , dai a curvatura é:

k(t)=|K(t) |=(-sen^2 t,-〖cos〗^2⁡t,0)

O vetor unitário é N=1/((cos⁡t,-sen t,1)).(-sen^2 t,-〖cos〗^2⁡t,0)

N(t)=(-sen t,-cos⁡〖t,0)〗 o vetor bi normal é 1/√2 (cos⁡t,-sen t,1), pois só mudará o plano z que deixa de ser positivo para ser negativo, portanto à uma translação e o raio da curvatura é:

r(t)=1/k(t) =2^2/((cos⁡t )^2+(sen t)^2+1^2 )=4/(1+1)=2

r(t)=2

(b) As equações dos planos osculador, retificante e normal de C no ponto

R.:

Temos que, o ponto P(√2/2,√2/2,π/4)e f(t)=(cost,sent,t) comparando-os verificamos t=π/4, plano osculador é obtido pelo produto escalar

(x-x_0 ),(y-y_0 ),(z-z_0 ).B(π/4)=0 onde ,(x_0,y_0,z_0 )=(√2/2,√2/2,π/4)e B(π/4)

Usaremos em B(t)=1/√2 (cost,-sent,-1) determinando o plano osculador logo: [(x-√2/2),(y-√2/2)(z-π/4) ].[1/√2 (cost π/4,-sent π/4,-1) ]=0

[(x-√2/2),(y-√2/2)(z-π/4) ].[1/√2 (√2/2,-√2/2,-1) ]=0.

[(x-√2/2),(y-√2/2) 1/√2 (z-π/4) ]=0 →1/2 x-√2/4-1/2 y+√2/4-1/2 z+π/(4√2)=0.

Portanto, concluímos o racionalizamos, respectivamente 1/2 x-1/2 y-√2/2 z+(√2 π)/8=0 .2

x-y-√2 z+(√2 π)/4=0 ↔x-y-√2 z=(√2 π)/4